Philosophiæ

Naturalis

Principia

Mathematica

(Matematické základy přírodní filosofie)



Isaac Newton








Obsah

Edmond Halley: Óda na Newtona

Autorova předmluva k prvému vydání

Autorova předmluva k druhému vydání

Autorova předmluva ke třetímu vydání

Předmluva překladatele

Definice

Definice 1

Množství hmoty je její mírou odvozenou spojením hustoty a objemu.

Definice 2

Množství pohybu je jeho mírou odvozenou spojením rychlosti a hmotnosti.

Definice 3

Vlastní síla hmoty (setrvačnost) je schopnost odporu, kterou se každé těleso, podle svých možností, snaží zachovat svůj současný stav, ať už je to klid nebo rovnoměrný přímočarý pohyb.

Definice 4

Vnější síla je aktivita působící na těleso, aby změnila jeho stav klidu nebo rovnoměrného přímočarého pohybu.

Definice 5

Centrální síla je ta, kterou jsou tělesa tažena nebo tlačena, nebo jinak míří k jednomu bodu jako centru.

Definice 6

Absolutní hodnota dostředivé síly je jejím měřítkem a je úměrná účinnosti příčiny, která jí rozšiřuje z centra okolním prostorem.

Definice 7

Zrychlující hodnota dostředivé síly je jejím měřítkem a je úměrná rychlosti, kterou v daném okamžiku generuje

Definice 8

Hybná síla dostředivé síly (váha) je jejím měřítkem a je úměrná pohybu, který v daný okamžik generuje

Komentář

Axiomy čili zákony pohybu

Zákon 1

Každé těleso zachovává svůj stav klidu nebo rovnoměrného přímočarého pohybu pokud není nucen změnit svůj stav působením síly.

Zákon 2

Změna pohybu je úměrná působící hybné síle a uskutečňuje se podél přímky, podle které tato síla působí.

Zákon 3

Ke každé akci existuje vždy opačná a stejně velká reakce; jinými slovy, akce dvou těles mezi sebou je vždy stejně velká a opačného směru

Důsledek 1

Současné působení [dvou] spojených sil na těleso je popsáno diagonálou rovnoběžníku, jehož strany odpovídají oběma samostatným silám

Důsledek 2

A protože skládání přímé síly AD z šikmých sil AB BD je zřejmé, je stejně tak zřejmý naopak rozklad libovolné síly AD na libovolné šikmé síly ABBD. A tento způsob skládání a rozkladu je skutečně hojně potvrzován mechanikou.

Důsledek 3

Množství pohybu, které je určeno sečtením pohybů konaných v jednom směru a odečtením pohybů ve směru opačném, se nemění působením sil mezi tělesy.

Důsledek 4

Společné těžiště dvou nebo více těles nemění svůj stav klidu nebo pohybu jako důsledek silového působení těles mezi sebou, a proto společné těžiště všech těles, které silově působí mezi sebou (s vyloučením vnějších sil a překážek), je buď v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře.

Důsledek 5

Pokud jsou tělesa uzavřena v určitém prostoru, jejich vzájemné pohyby jsou stejné, ať je prostor v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře bez rotačního pohybu.

Důsledek 6

Pokud se tělesa libovolně vzájemně pohybují a jsou vystaveny stejným zrychlujícím silám podél rovnoběžných přímek, budou pokračovat ve stejném vzájemném pohybu, jako by tato síla nepůsobila

Komentář

Kniha 1: O pohybu těles

Sekce 1

O metodě prvotních a mezních hodnot, k použití v následujících důkazech

lemma 1

Proměnné veličiny, a též poměry veličin, které se v každém mezním okamžiku trvale blíží k rovnosti, a které se před koncem tohoto okamžiku blíží k sobě tak, že jejich rozdíl je menší než libovolná daná hodnota, se nakonec stávají stejnými

lemma 2

Pokud v libovolném diagramu AacE zahrnujícím úsečky Aa a AE a křivku acE, libovolný počet rovnoběžníků Ab, Bc, Cd, … sestrojených nad základnami AB, BC, CD, … a mající strany Bb, Cc, Dd, … rovnoběžné se stranou Aa diagramu, a když jsou doplněny rovnoběžníky aKbl, bLcm, cMdn, … a když šířka těchto těchto rovnoběžníků se zmenšuje a jejich počet nekonečně roste, tvrdím, že mezní plochy jak vepsaného diagramu AKbLcMdD, tak opsaného diagramu AalbmcndoE a křivky AabcdE mají rovné mezní hodnoty.

lemma 3

Mezní hodnoty odpovídají těmto rovným hodnotám i tehdy, když šířky AB, BC, CD, … rovnoběžníků nejsou stejné a nekonečně se zmenšují

lemma 4

Jestliže ve dvou diagramech AacE a PprT jsou vepsány (jako nahoře)  dvě řady rovnoběžníků a počet rovnoběžníků je v obou řadách stejný, a pokud, když jejich šířky nekonečně klesají a mezní poměry [ploch] rovnoběžníků v jednom diagramu a odpovídajících rovnoběžníků v druhém diagramu jsou stejné, potom tvrdím, že [plochy] obou diagramů AacE a PprT jsou navzájem ve stejném vzájemném poměru

lemma 5

Všechny vzájemně si odpovídající strany podobných diagramů, jak přímkových tak křivočarých, jsou si úměrné, a plochy jsou v poměru druhých mocnin jejich stran.

lemma 6

Jestliže libovolný oblouk ACB daný svou polohou je protnut tětivou AB v některém bodě A uvnitř spojitého zakřivení a dotýká se ho přímka AD protažená na obě strany, a jestliže se body A a  B přiblíží a dojdou k sobě, tvrdím, že úhel  BAD sevřený tečnou a sečnou se nekonečně zmenší a nakonec vymizí.

lemma 7

Za stejných předpokladů, tvrdím, že mezní vzájemné poměry oblouku, sečny a tečny jsou si rovny.

lemma 8

Jestliže dané přímky AR a  BR, oblouk ACB, jeho sečna AB vytvářejí tři trojúhelníky RAB, RACB a  RAD a jestliže se body A a  B navzájem přibližují, tvrdím, že tyto trojúhelníky, když se ztrácejí, jsou ve své mezní formě podobné a jejich mezní hodnoty jsou stejné.

lemma 9

Pokud se přímka AE a křivka ABC, obě v pevné poloze, protínají pod úhlem A, a pokud jsou sestrojeny přímky  BD a CE v pevném úhlu k přímce AE a protínají křivku v bodech  B a C. Potom když se body  B a  C současně blíží bodu A, tvrdím, že plochy trojúhelníků ABD a ACE budou mezně k sobě navzájem jako čtverce jejich stran.

lemma 10

Dráha tělesa, které je poháněno konečnou silou, ať už je tato síla určitá a neměnná nebo se neustále zvětšuje nebo neustále zmenšuje, je na samém počátku pohybu v poměru čtverce času

lemma 11

Pro všechny křivky mající konečnou křivost v bodě kontaktu je v mezním případě mizející délka protilehlé tětivy [subtense] kontaktního úhlu úměrná čtverci délky protilehlé tětivy [subtensi] sousedního úhlu.

Sekce 2

O nalezení centrálních sil

Tvrzení 1. Věta 1.

Plochy které opisují při pohybu tělesa po oběžné dráze průvodiče, které je spojují s nepohyblivým centrem sil, leží v pevných rovinách a jsou úměrné času.

Tvrzení 2. Věta 2.

Každé těleso, které se pohybuje po rovinné křivce a jeho průvodič, který ho spojuje s bodem, který se buď nepohybuje nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře, opisuje okolo tohoto bodu plochy úměrné časům, je vychylován centrální silou směřující k tomu samému bodu.

Tvrzení 3. Věta 3.

Na každé těleso, které svým průvodičem, který ho spojuje se středem jiného tělesa, které se libovolně pohybuje, opisuje kolem tohoto středu plochy úměrné času působí síla, která je složená z centrální síly mířící k druhému tělesu a ze zrychlující síly jaká působí na druhé těleso

Tvrzení 4. Věta 4.

Centrální síly těles, která opisují kružnice rovnoměrným pohybem míří ke středům těchto kružnic a jsou ve vzájemném poměru jako čtverce ploch opsaných za stejný čas dělené poloměry kružnic

Tvrzení 5. Problém 1.

V libovolném bodě je dána rychlost kterou těleso opisuje danou křivku když na něj působí síly mířící k  nějakému společnému středu, najít tu sílu

Tvrzení 6. Věta 5.

Jestliže v prostoru bez odporu těleso obíhá po kolem nehybného středu a opisuje právě vznikající oblouk v nekonečně krátkém čase, a jestliže výška oblouku je chápána tak, že dělí na poloviny tětivu oblouku a při prodloužení prochází středem sil, potom je centrální síla uprostřed oblouku v přímém poměru k výšce a nepřímo ke čtverci času.

Tvrzení 7. Problém 2.

 Nechť se těleso pohybuje po obvodu kruhu; najít zákon centrální síly směřující k danému bodu.

Tvrzení 8. Problém 3.

Nechť se těleso pohybuje po polokruhu  PQA; najít zákon centrální síly pro ten případ, kdy centrální síla míří k bodu S tak vzdálenému, že všechny přímky  PS a  RS, které k němu směřují, je možno pokládat za rovnoběžné.

Tvrzení 9. Problém 4.

Nechť se těleso pohybuje po spirále PQS a protíná všechny její poloměry Sp, Sq, … pod pevným úhlem; najít zákon centrální síly směřující do směru spirály.

lemma 12.

Všechny rovnoběžníky sestrojené nad libovolnými sdruženými průměry dané elipsy nebo hyperboly jsou navzájem rovné .

Tvrzení 10. Problém 5.

Nechť těleso obíhá po elipse; najít zákon centrální síly směřující ke středu elipsy. 

Sekce 3

O pohybu těles po výstředných kuželosečkách

Tvrzení 11. Problém 6.

Nechť těleso obíhá po elipse; najít zákon centrální síly směřující k ohnisku elipsy

Tvrzení 12. Problém 7.

Nechť těleso obíhá po hyperbole; najít zákon centrální síly směřující k ohnisku diagramu 

Lemma 13.

U paraboly je latus rektum odpovídající vrcholu čtyřnásobkem vzdálenosti tohoto vrcholu od jejího ohniska

Lemma 14

Kolmice spuštěná z ohniska paraboly na její tečnu je geometrickým průměrem mezi vzdáleností ohniska od bodu kontaktu a vzdálenosti vrcholu od jejího ohniska

Tvrzení 13. Problém 8.

Nechť se těleso pohybuje po obvodu paraboly; najít zákon centrální síly směřující k ohnisku diagramu

Tvrzení 14. Věta 6.

Když několik těles obíhá okolo jednoho středu a centrální síla je nepřímo úměrná čtverci jejich vzdálenosti od středu, tvrdím, že hlavní laty rekta jejich orbit jsou úměrné čtvercům ploch, které opíší jejich průvodiče vztažené ke středu sil za stejný čas

Tvrzení 15. Věta 7.

Za stejných předpokladů tvrdím, že čtverce oběžných dob u elips jsou úměrné třetím mocninám hlavních os

Tvrzení 16. Věta 8.

Za stejných předpokladů, když vedeme tělesy přímky tak, aby se dotýkaly jejich drah v místech, kde se nacházejí, a když na tyto komice spustíme ze společného ohniska kolmice, tvrdím, že rychlosti bodů jsou nepřímo úměrné těmto kolmicím a přímo úměrné hlavním latům rektům drah 

Tvrzení 17. Problém 9.

Předpokládejme, že centrální síla je nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti těles od centra a že absolutní hodnota této síly je známa; požaduje se nalezení křivky kterou těleso opíše, když vyletí z daného místa danou rychlostí podél dané přímky

Sekce 11

Pohyb těles přitahovaných k jiným centrálními silami

Tvrzení 57. Věta 20.

Dvě tělesa, která se navzájem přitahují, opisují podobné obrazce kolem svého společného těžiště a také kolem sebe navzájem

Tvrzení 58. Věta 21.

Jestliže se dvě tělesa navzájem přitahují libovolnými silami a současně obíhají kolem společného těžiště, tvrdím, že by obíhala kolem některého z těles, kdyby bylo nehybné, po dráhách podobných a stejných, jaké tělesa opisují kolem sebe působením stejné síly

Tvrzení 59. Věta 22.

Oběžné doby dvou těles S a P obíhajících okolo společného těžiště C jsou k oběžným dobám jednoho z těles obíhajícího druhého nehybného tělesa S a opisující podobné a stejné obrazce, která tělesa opisují okolo sebe, jako odmocnina poměru hmotnosti druhého tělesa S k součtu hmotností těles S + P

Tvrzení 60. Věta 23.

Jestliže dvě tělesa S a P, která se přitahují silou nepřímo úměrnou čtverci jejich vzdálenosti obíhají kolem společného těžiště, tvrdím, že hlavní osa elipsy které jedno z těles P opisuje při svém pohybu okolo druhého tělesa S bude k hlavní ose elipsy, kterou by to samé těleso P mohlo opisovat za stejnou oběžnou dobu okolo druhého tělesa S v klidu je v témž poměru jako součet hmotností obou těles S + P a třetí odmocninou součinu čtverce tohoto součtu a hmotnosti druhého tělesa S

Tvrzení 61. Věta 24.

Jestliže dvě tělesa S a P, která se přitahují jakoukoliv silou a nepůsobí ani netlačí na ně nic jiného, jejich pohyb bude stejný, jako kdyby se navzájem nepřitahovala, ale přitahovaly je stejné síly třetího tělesa umístěného v jejich těžišti. A zákon přitažlivých sil bude stejný pokud jde o vzdálenost těles od společného těžiště a s ohledem na celkovou vzdálenost těles

Tvrzení 65. Věta 25.

Více těles, jejichž přitažlivé síly klesají se čtvercem vzájemné vzdálenosti od jejich středů se mohou navzájem pohybovat po elipsách a průvodiči k jejím ohniskům opisovat plochy úměrné přibližně času

Tvrzení 66. Věta 26.

Tři tělesa, jejichž síly klesají se čtvercem vzdálenosti, se přitahují navzájem, a vzájemná urychlující přitažlivost jakékoliv dvojice vůči třetímu tělesu je nepřímo úměrná čtvercům vzdáleností, a menší tělesa obíhají okolo většího. Potom tvrdím, že vnitřní těleso obíhá kolem nejvnitřnějšího a největšího tělesa a opisuje průvodiči spuštěnými k němu plochy přibližně úměrné času a obrazce přibližně ve tvaru elips, které mají svá ohniska přibližně v průsečíku průvodičů a které by působilo největší těleso svou přitažlivostí , kdyby to větší v klidu nebylo přitahováno menším nebo bylo mnohem více či mnohem méně přitahováno nebo buď mnohem méně nebo mnohem více působilo

Tvrzení 67. Věta 27.

Když předpokládáme stejné zákony přitažlivosti, tvrdím, že vzhledem ke společnému těžišti O vnitřních těles P a T bude vnější těleso S průvodiči spuštěnými do tohoto středu opisovat plochy přesněji úměrné časům a s drahou bližší tvaru elipsy, která má své ohnisko v tom samém středu, než opisuje okolo nejvnitřnějšího a největšího tělesa T průvodiči spuštěnými k tomuto tělesu.

Tvrzení 68. Věta 28.

Když předpokládáme stejné zákony přitažlivosti, tvrdím, že s ohledem na společné těžiště O vnitřních těles P a T bude vnější těleso S průvodiči spuštěnými do tohoto těžiště opisovat plochy téměř úměrné času a dráhy více podobné tvaru elips, které mají své ohnisko v témž těžišti, pokud na nejvnitřnější a největší těleso působí přitažlivá síla stejně jako na ta ostatní, než v případech, kdy není vůbec přitahováno a je v klidu nebo je přitahováno mnohem více nebo mnohem méně nebo se mnohem více nebo mnohem méně pohybuje.

Tvrzení 69. Věta 29.

V systému několika těles A, B, C, D, … libovolné těleso A přitahuje všechna ostatní B, C, D, … zrychlující silou, která je nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti od přitahujícího tělesa; a pokud některé jiné těleso B též přitahuje ostatní tělesa A, C, D, … silami, které jsou nepřímo úměrné kvadrátu vzdáleností od přitahujícího tělesa; potom absolutní síly přitahujících těles A a B budou ve vzájemném poměru jako samotná tato tělesa [tj. jejich hmotnosti] A a B, ke kterým tato síla přísluší.

Sekce 12

O přitažlivých silách sférických těles

Tvrzení 70. Věta 30.

Jestliže ke každému jednotlivému bod kulové plochy přísluší stejné centrální síly klesající se čtvercem vzdálenosti od tohoto bodu, tvrdím, že částice umístěná dovnitř plochy nebude přitahována těmito silami žádným směrem

Tvrzení 71. Věta 31.

Za stejných podmínek jako u tvrzení 70, tvrdím, že částice umístěná mimo kulové plochy je přitahována ke středu koule silou nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti od tohoto středu.

Kniha 2: O pohybu těles

Kniha 3: O systému světa

Pravidla

Pravidlo 1

K vysvětlení přírodních jevů nemá být použito více příčin, než ty, které jsou pravdivé a dostatečné k vysvětlení jevu

Pravidlo 2

Proto přírodním jevům stejného typu musíme, pokud je to možné, přiřadit stejné příčiny

Pravidlo 3

Vlastnosti těles, které nelze ani zesílit ani zeslabit a které náležejí všem tělesům, na kterých lze provést experiment, mají být pokládány za obecné vlastnosti všech těles

Pravidlo 4

V experimentální filosofii mají být pokládána tvrzení odvozená indukcí z jevů za pravdivá nebo téměř pravdivá bez ohledu na jakékoliv protichůdné hypotézy, dokud jiný jev neučiní tato tvrzení přesnějším nebo podléhajícím výjimkám

Jevy

Jev 1

Satelity Jupiteru opisují průvodiči vedenými ze středu Jupiteru plochy úměrné času, a jejich oběžné doby vůči stálicím jsou úměrné 3/2 mocnině jejich vzdálenosti od středu

Jev 2

Satelity Saturnu opisují průvodiči vedenými ze Saturnu plochy úměrné času, a jejich oběžné doby vůči stálicím jsou úměrné 3/2 mocnině jejich vzdálenosti od středu

Jev 3

Dráhy pěti prvotních planet Merkuru, Venuše, Marsu a Saturnu obepínají Slunce

Jev 4

Oběžné doby pěti prvotních planet a také Slunce kolem Země nebo Země kolem Slunce vztažené ke stálicím jsou v 3/2 poměru k jejich středním vzdálenostem od Slunce

Jev 5

Prvotní planety opisují průvodiči vůči k Zemi plochy, které nejsou úměrné času, zatímco průvodiče vůči ke Slunci opisují plochy úměrné času

Jev 6

Měsíc svým průvodičem spuštěným ke středu Země opisuje plochy úměrné času

Tvrzení

Tvrzení 1. Věta 1.

Síly, kterými jsou satelity Jupiteru neustále vychylovány z přímočarého pohybu a drženy na svých odpovídajících drahách, míří do středu Jupiteru a jsou nepřímo úměrné čtverci jejich vzdálenosti od jeho středu.

Tvrzení 2. Věta 2.

Síly, kterými jsou prvotní planety neustále vychylovány z přímočarého pohybu a drženy na svých odpovídajících drahách, míří ke Slunci a jsou nepřímo úměrné čtverci jejich vzdálenosti od jeho středu.

Tvrzení 3. Věta 3.

Síly, kterými je měsíc držen na své dráze, míří k Zemi a jsou nepřímo úměrné čtverci jeho vzdálenosti od jejího středu.

Tvrzení 4. Věta 4.

Měsíc je přitahován k Zemi a silou přitažlivosti je stále odchylován od přímočarého pohybu a držen na své dráze.

Tvrzení 5. Věta 5.

Satelity Jupiteru jsou přitahovány k Jupiteru, satelity Saturnu k Saturnu a prvotní planety jsou přitahovány ke Slunci, a to silou přitažlivosti, který je vychyluje z přímočarého pohybu a drží na jejich drahách.

Tvrzení 6. Věta 6.

Všechna tělesa jsou přitahována k jednotlivým planetám, a jejich váha vůči kterékoliv určité planetě ve stejné vzdálenosti od jejího středu je úměrná množství hmoty v nich.

Tvrzení 7. Věta 7.

Přitažlivost existuje všeobecně mezi všemi tělesy a je úměrná množství hmoty v nich.

Tvrzení 8. Věta 8.

Jestliže se dva globy navzájem přitahují a jejich hmota je homogenní na všech stranách v oblastech, které jsou stejně vzdálené od jejich středů, potom váha každého globu vůči druhému bude nepřímo úměrná čtverci vzdáleností mezi jejich středy.

Tvrzení 9. Věta 9.

Přitažlivost klesá pod povrchem planety zhruba úměrně vzdálenosti od jejího středu.

Tvrzení 10. Věta 10.

Pohyb planet na nebesích může pokračovat velmi dlouhý čas.

Hypotéza 1.

Střed světového systému je v klidu.

Tvrzení 11. Věta 11.

Společné těžiště Země, Slunce a všech planet je v klidu.

Tvrzení 12. Věta 12.

Slunce vykonává neustálý pohyb, ale nikdy se nevzdálí ze společného těžiště všech planet.

Tvrzení 13. Věta 13.

Planety se pohybují po elipsách, jejichž ohnisko je ve středu Slunce, a svými průvodiči opisují plochy úměrné času.

Tvrzení 14. Věta 14.

Afélia a vrcholy drah planet jsou v klidu.

Tvrzení 25. Problém 6.

Najít síly, kterými Slunce porušuje pohyb Měsíce.

Tvrzení 36. Problém 17.

Najít sílu, kterou Slunce pohybuje mořem.

Tvrzení 37. Problém 18.

Najít sílu, kterou Měsíc pohybuje mořem.

Obecný komentář: Systém světa


Přechod na domovskou stránku