Podobné vlastnosti rotace a Lorenzovy transformace

Cílem tohoto článku je ukázat na některé společné vlastnosti dvou základních transformací souřadnic používaných v současné fyzice - rotace v trojrozměrném prostoru (ať už klasické newtonovské fyziky či prostorové části časoprostoru speciální teorie relativity) a Lorenzovy transformace, která popisuje vztah dvou souřadných systémů speciální relativity.

Článek nepřináší žádná neznámá fakta, pouze se snaží ukázat známá fakta v méně obvyklých souvislostech a poukázat na určité analogie, která nejsou všeobecně známy. Pečlivý čtenář si tak může pečlivým přečtením článku obohatit svůj pohled na některé skutečnosti, a současně získat nové pohledy na tyto grupy prostorových a časoprostorových transformací, vůči kterým jsou zákony fyziky invariantní.

1. Rotace v třírozměrném prostoru

Pojmy translace (posunutí) a rotace (otáčení) vznikly abstrakcí při popisu pohybu tuhého tělesa v obvyklém třírozměrném metrickém prostoru. Pokud v takovém prostoru zavedeme dva kartézské souřadné systémy SS', potom polohu každého bodu tohoto tělesa popíšeme vektory rr'. Transformaci souřadnic mezi systémy SS'  nazveme metrickou, pokud vzdálenost každé zvolené dvojice bodů (1) a (2) vyjádřená jako velikost vektorů | r1 - r2 | a | r1' - r2' | je stejná. Dá se ukázat, že taková transformace je lineární a má vždy tvar:

Rovnice platí pro všechny indexy i od 1 do 3, index j  je sčítací, t je konstantní vektor posunu a A je matice velikosti 3x3.

1.1 Einsteinovo sumační pravidlo

Protože zápis podobných vektorových a tenzorových rovnic, zvláště pokud by obsahovaly více sumačních symbolů, je složitý, zavedeme pro jejich zjednodušení konvenci, kterou zavedl při psaní relativistických rovnic Albert Einstein a které nazýváme Einsteinovo sumační pravidlo:

  1. Každý index,. který se v rovnici opakuje dvakrát, je sčítací; v trojrozměrném případě sčítáme od 1 do 3. V tomto článku budeme pro lepší přehled uvádět takové indexy na levé straně v závorce (jinde to není zvykem).
  2. Pokud některý opakovaný index není sčítací, je to nutno explicite uvést v textu.
  3. Rovnice platí pro každý z volných (neopakovaných, nesčítacích) indexů v odpovídajicim rozsahu (zde od 1 do 3)
  4. Parciální derivaci podle i -té složky vektoru r zapisujeme formou čárky a příslušného indexu. Např. zápis f1 , 2 označuje derivaci x-ové složky vektoru f podle y . (Uvádíme pro úplnost, v tomto článku není použito).

Jako příklad uveďme, jak jsou definovány složky matice 3x3 C , která je součinem matic A a B táže velikosti:

Einsteinovo sumační pravidlo, když si na něj zvykneme, značně zpřehledňuje podobné rovnice - uvedená rovnice bude vypadat takto:

Používáním tohoto pravidla činí samozřejmými a lehce pochopitelnými i takové vlastnosti součtů a operace s nimi, jako asociační zákon, vytýkání společných výrazů před sumační symbol a nejrůznější sdružování členů v součtech podle jejich logického významu.

Transformaci je možno pokládat za složenou z posunu (translace) o vektor t a otočení (rotaci) podle matice A kolem invariantního počátku. Skládání translací je prosté - výsledný posun prostě odpovídá součtu jednotlivých translačních vektorů. V dalším se proto omezíme na pouhé rotace - ty dostaneme, když v rovnici položíme t = 0. Vektor r , který je spojnicí dvou bodů, nesmí při rotaci měnit velikost:

(Všimněte si, že při opakování rozvoje ri = Ai j rj bylo nutno přejmenovat sčítací index).

Pokud tento výraz má být pro všechny vektory r roven r'2 = r2 , musí být maticový součin Ai j Ai k (po sečtení přes je to matice s indexy a ) roven jednotkové matici. Všimněte si, že u druhá matice A má oproti rovnici (2) prohozené indexy, jedná se tedy o součin matice A a matice transponované. K zápisu podobných vztahů je vhodné zavést další pomocné tenzorové konstanty:

1.2 Kroneckerovo delta a Levi-Civitův tenzor

Kroneckerovo delta je konstantní tenzor druhého řádu (se dvěmi indexy), který je roven jedné, pokud se oba indexy rovnají, jinak je roven nule. Je to tedy vlastně jednotková matice, její složky označujeme δ i j. Pokud provedeme transformaci tohoto tenzoru při přechodu mezi kartézskými souřadnými systémy podle obvyklých pravidel, zachovává si formu jednotkové matice. Kroneckerovo delta je možno analogicky zavést v metrickém prostoru libovolné konečné dimenze; v Hilbertových prostorech je jeho zobecněním distribuce obvykle nazývaná Diracovou delta funkcí.

Levi-Civitův symbol v trojrozměrném prostoru je formálně tenzor třetího řádu, který je plně antisymetrický. Jeho složka ε i j k je nulová, pokud jsou si slespoň dva indexy rovny, je rovna jedné pro trojice indexů (123), (231) a ((312) a rovna minus jedné pro trojice (321), (132) a (213). Jinak řečeno, pokud je trojice (i j k) permutací, je roven jejímu znaménku, jinak je nulový. Symbol je možno zobecnit i pro dimenzí, kde má symbol indexů.

Jak jak si tuší znalci lineární algebry, Levi-Civitův symbol souvisí s pojmem determinantu. S jeho pomocí je možno vyjádřit i -tou složku vektorového součinu dvou vektorů:

Levi.Civitův symbol je podobně jako Kroneckerovo delta invariantem metrických transformací mezi kartézskými systémy, ovšem při přechodu mezi pravotočivými a levotočivými systémy mění znaménko (tzv. axiální tenzor).

Pokud narazíme na kombinaci dvou Levi-Civitových symbolů, je možno použít identitu:

Z toho lze např. snadno odvodit známou identitu pro vektorový součin tří vektorů:

Křížek označuje vektorový, tečka skalární a prostý součin

Pro nás bude důležitý pojem duálu vektoru. Pro libovolný trojrozměrný vektor a je možno zavést antisymetrický axiální tenzor druhého řádu ã zvaný duál vztahem:

a původní vektor získat zpět jako součet

Pravou stranu je nutno dělit faktoriálem počtu sčítacích indexů, v našem případě ( 1 / 2! ).

Analogicky je možno definovat duál k antisymetrickému tenzoru druhého řádu jako (axiální) vektor.


Pomocí těchto symbolů je možno zapsat požadavek na zachování vzdálenosti při transformaci takto:

Součin matice A s maticí transponovanou musí být tedy roven jednotkové matici.

Okamžitý pohyb tělesa obvykle charakterizujeme jako rotaci kolem určité okamžité osy. Přitom výrazem „okamžitý“ myslíme malou rotaci za krátký časová okamžik dt. A výrazem „malá“ to, že poloha tělesa po otočení se mění jen nepatrně. Takovou rotaci je možno pokládat za složení identické transformace (vyjádřené jednotkovou maticí) a „malé“ transformace vyjádřené maticí omega úměrnou časovému intervalu: A = 1 + ω dt , či po složkách

Po dosazení do rovnice a vynecháním členů s vyšší mocninou intervalu dt (malá rotace) dostáváme:

(Písmenem k byl původně označen opakovaný sčítací index transponované matice A)

neboli

Matice ω je tedy antisymetrická. K ní je možno přiřadit podle rovnice jako duál axiální vektor (budeme ho pro jednoduchost značit též ω). Jeho směr udává osu okamžité rotace, jeho velikost potom úhlovou rychlost.

Pro ilustraci uveďme, jaký výsledek dostaneme v běžném případě — rotaci tělesa stálou rychlostí kolem osy z. Pokud r = ( x, y, z ) označuje polohu bodu uvnitř tělesa v na počátku (t = 0), potom v čase t bude mít vůči nehybnému systému souřadnice (α je nějaká konstantní hodnota):

Matice A má potom tvar:

 Rotace je malá jen pro t = 0 . Matici ω (tedy změnu matice A) vypočteme derivací matice A podle času a dosazením t = 0 . Bude mít jen dva nenulové prvky: ω1 2 = α a ω2 1 = - α, z toho vektor úhlové rychlosti ω = ( 0, 0, α) má tedy obvyklou velikost a směr osy z. 

2. Skládání rotací

Provedeme-li rotaci některého tělesa pomocí transformace popsané maticí A a toto otočené těleso znovu transformujeme podle matice B, potom výslednou transformaci popíšeme takto:

Výslednou transformaci tedy představuje součin matic BA.

Provedeme-li rotace kolem stejné osy (a umístíme si do ní osu z souřadného systému), je maticí výsledné transformace součin matic odpovídajících rovnici odpovídajícím rotačním úhlům α1 a α2. Když si čtenář obě matice vynásobí a použije známé součtové vzorce pro goniometrické funkce sinus a kosinus, zjistí, že výsledkem je rotace o součet úhlů  α1 a α2. Nic nového pod sluncem — každý ví z každodenní praxe, že při rotaci kolem jedné pevné osy se úhly otočení sčítají. Uvedený příklad pouze ukazuje, jak tento praktický poznatek je důsledkem obecných matematických pouček — jeho hlubší smysl vyplyne až při srovnání s transformacemi speciální teorie relativity.

A jak to dokazuje i zkušenost, pokud otáčíme těleso postupně podle různých rotačních os, potom je situace složitější. Potom je nalezení parametrů výsledné transformace složitější, záleží na pořadí rotací a nelze je jednoduše popsat veličinou, kterou je možno sčítat.

3. Speciální Lorenzova transformace v Minkovského časoprostoru

Metrické transformace 3-rozměrného kartézského prostoru se vyznačovaly zachováním pythagorejské vzdálenosti mezi jeho dvěma body. Podobně Lorenzovými transformacemi 4-rozměrného Minkovského časoprostoru (ke třem prostorovým souřadnicím x, y a z přibyla další souřadnice: čas t; my jí přiřadíme index nula,  jiní autoři užívají index 4 ) nazýváme transformace, které zachovávají časoprostorový interval

 kde c je rychlost světla ve vakuu.

Patří k nim samozřejmě všechny čistě prostorové transformace prostorové části časoprostoru popsané v minulých kapitolách. Další speciální případ (tzv. speciální Lorenzova transformace) je ten, kdy souřadné systémy mají před i po transformaci společný počátek v čase t = 0 a společnou osu x, kterým se budeme zabývat v této kapitole; obecnější případy je možno vytvořit kombinací těch předchozích. Podrobněji viz např. zde.

Mějme tedy základní (nečárkovaný) souřadný systém S a souřadný systém S', který se vůči němu pohybuje rychlostí v. Potom lze jejich vzájemné transformace popsat v souhlase s Wikipedií:

Zavedeme-li i bezrozměrnou rychlost β a Lorenzův faktor ɣ :

(prvé dvě hodnoty jsou závislé na rychlosti v!), můžeme speciální Lorenzovu transformaci zapsat takto:

Inverzní transformace je stejná, pouze místo znamének minus stojí znaménka plus.

V případě třírozměrných rotací jsme použili goniometrické funkce, zatímco pro Lorenzovy transformace v prostoru s indefinitní metrikou (znaménko minus u časového členu v rovnici ) použijeme analogicky funkce cyklometrické : hyperbolický sinus sinh, hyperbolický kosinus cosh a hyperbolický tangens tgh — ty vzniknou přirozeným rozšířením goniometrických funkcí do komplexní roviny, kde představují hodnoty goniometrických funkcí, proto s nimi mají řadu společných či podobných vlastností — příslušné vzorce jsou analogické a liší se většinou jen znaménkem. Příslušné inverzní funkce (říkáme jim hyperbolometrické) označujeme stejným jménem,před které připojíme písmeno „a“.

Zavedeme-li veličinu ψ rovnicí

potom je

a rovnice získá formu

analogickou rovnici (až na znaménka).

Podstatné ovšem je to, že pokud provedeme skládání takových speciálních Lorenzových transformací, uplatní se analogické vlastnosti hyperbolických funkcí, vznikne opět  speciální Lorenzova transformace, jejíž parametr ψ je součtem odpovídajících dílčích transformací, máme tedy jakýsi analog úhlu otočení v případě třírozměrných rotací. A platí ovšem i podobné omezení: jakmile provedeme jakoukoliv jinou Lorenzovu transformaci, ať už je to přechod podle rychlosti jiným směrem, prostorová rotace či obecnější případ, potom pravidlo o sčítání parametrů přestává platit stejně, jako v případě rotací kolem různých os.

Zdálo by se, že třírozměrné rotace a speciální Lorenzovy transformace jsou si tedy velmi podobné. Ale není tomu tak — a mohou za to zcela odlišné vlastnosti hyperbolických funkcí. Uveďme graf a některé vlastnosti funkce tgh(x) a jejich důsledky:

 

  1. Funkce tgh(x) má v počátku nulovou hodnotu a jednotkovou derivaci. Proto pro malé rychlosti mnohem menší než rychlost světla jsou hodnoty parametrů β a ψ prakticky stejné. Zavedeme-li dokonce efektivní rychlost w = c.ψ, bude se chovat podobně jako skutečná rychlost v — a tedy i skutečné rychlosti se prakticky sčítají.
  2. Funkce tgh(x) se pro velké argumenty limitně přibližuje k hodnotě jedna — zobrazuje tedy interval argumentů ( −1 , 1 ) do celého intervalu hodnot ( −∞ , ∞ ). Zatímco se tedy skutečná rychlost v limitně blíží k rychlosti světla, hodnota parametru ψ i efektivní rychlosti w může nabývat libovolných hodnot.
  3. Pokud naopak složíme řadu takových transformací, potom výsledná efektivní rychlost w i parametr ψ mohou neomezeně růst, ale skutečná rychlost v se bude jen blížit rychlosti světla. Skládáním speciálních Lorenzových transformací proto nemůže vzniknout nadsvětelná rychlost.
  4. Pro hyperbolický tangens platí součtový vzorec
  5. Z toho vyplývá výraz pro výslednou rychlost transformace vzniklé složením transformací s rychlostmi v1 a v2:

Podstatu popsaných podobných vlastností i odlišností nejlépe vyjadřuje maticová forma transformace. Pracujeme-li v souřadném systému (ct, x, y z), potom rotaci kolem osy x popisuje transformační matice

 .

Speciální Lorenzovu transformaci kolem osy x popisuje matice

,

která se po zavedení parametru ψ změní na

.

Zavedení goniometrických či hyperbolických funkcí má za následek, že matice každého dílčího druhu komutují a je možno je popsat jedním aditivním parametrem. Ovšem indefinitní metrika (záporné znaménko u časové souřadnice) má za následek změnu znaménka jednoho prvku a tedy i záměnu goniometrických funkcí za hyperbolické, které přes mnoho společného se chovají zcela odlišně a proto se vlastnosti obou transformací liší — zatímco při rotacích se periodicky opakují, při Lorenzových transformací mapují konečný interval rychlostí omezených rychlostí světla na nekonečný interval parametrů ψ a efektivních rychlostí w.

Nostalgický závěr

Kdysi jsem se jako člověk čerstvou maturitou zmužnělý dostal díky náhodné známosti z okruhu vyšších politických činitelů té doby na přednášku údajného „předního amerického odborníka“ na současnou kosmologii. Jeho jméno mi uniklo, ale jednalo se o typického šarlatána, který se z náboženských pozic pokoušel vyvracet poznatky moderní fyziky, zejména Einsteinovu teorii relativity. Přednášku, které byla přítomna vybraná komunistická elita tehdejšího okresu Karlovy Vary. A jelikož přednášející byl český emigrant, nevznikla ani jazyková překážka.

Už tehdy jsem projevoval nadšený zájem o moderní přírodovědu, zejména moderní fyziku, přečetl jsem si několik populárně vědeckých knih od snad těch lepších autorů (mám dojem, že jeden z nich nesl jméno György Marx, kupodivu ne klasik marxismu, ale maďarský fyzik) a byl jsem mezi onou „elitou“ snad jediný, který se na ona senzační odhalení díval skepticky. Přesto, že jsem si je jako neoficiální host nedovolil veřejně vyjádřit.

Musím bohužel konstatovat, že zástupci tehdejší okresní komunistické vrchnosti se též nedokázali ozvat, nikdo z nich se nechtěl ztrapnit před ostatními, všichni se tvářili, že všemu rozumí. Přesně tak, jako to dělá vrchnost současná, dnešní čelní představitelé světové antivědy. Tvářit se, že všemu rozumím, to je přece v současnosti důkazem, že jsem „in“, v opačném případě by přinejmenším riskovali, že na dalším routu už nebudou patřit mezi zvané.

Mezi hlavní argumenty řečníka patřil model rozpínajícího se vesmíru. Rychlost rozpínání je prý úměrná vzdálenosti — když se tedy posunu o určitou vzdálenost, bude se vesmír rozpínat rychlostí v . Když několik takových intervalů složím, dostanu tak nakonec nadsvětelnou rychlost, ale tu relativita zakazuje — proto prý je celý model nesmysl.

Přestože moje matematická erudice byla tehdy omezená, zapamatoval jsem si s té knihy zákon o skládání rychlostí a chápal, že při skládání rychlostí podle něj by nikdy nadsvětelná rychlost nevznikla. Dokázal jsem si dokonce odvodit, že pokud zavedu veličinu w = c.atgh( v / c), potom se taková veličina chová při skládáni transformací aditivně. A z povahy funkce tgh(x) jsem pochopil, že tak nadsvětelná rychlost tak nikdy nevznikne. Samozřejmě ne během přednášky — na to moje zkušenost nestačila, ale alespoň dodatečně.

Ale hlavně jsem pochopil, že nelze věřit podobným šarlatánům, jako byl onen „odborník“, ale zejména těm, jejichž hlavní předností je, že „drží hubu a krok“, těm, kterým vlastní schopnosti neumožňují poznat, že „král je nahý“. A i kdyby to poznali, netroufnou si to říci. Tehdejší komunistická „elita“ přitom nebyla o nic horší, než ta dnešní.

Dnes je naše společnost naštěstí informačně otevřena a nikomu není bráněno presentovat své názory — ani skutečným odborníkům, ani šarlatánům. Což je správné, ale klade to stále větší požadavky na posluchače při rozlišování seriózních odborníků od šarlatánů. Tento můj článek neníl určen odborníkům — ti mají lepší informační zdroje. Můj článek se obrací na ty nadšence, kteří dávají přednost hlubšímu poznávání přírody, přestože jejich znalosti nejsou dosud tak dokonalé, aby mohli být odborníky. Obrací se na ty, kteří shání informace stejně, jako jsem to činil já jako čerstvý maturant. Dnes mají rozsáhlé zdroje informací — zejména díky Internetu — a měli by je využívat. Ale o to náročnější je oddělit seriózní informace od laciných senzací.

Společnost dnes ještě více než v minulosti oceňuje konformní typy, které jsou ochotny kývat a nedělají problémy, než lidi samostatně myslící. Cení si více těch, kteří jsou „in“, kteří znají a oblékají se podle současné módy a mají na šatech ty správné značky . Cení si více těch, kteří vědí podrobnosti o posledních zápasech fotbalové ligy, než těch, jejich znalosti jsou méně povrchní a týkají se obecných zákonitostí přírody. 

Ale snad je lépe, když někdo občas podlehne desinformacím šarlatánů, než když zcela resignuje. Prosím, pokuste se vzdorovat laciným senzacím ze světa „celebrit“, snažte se vzdorovat drbům z oblasti herců či populární hudby (tj. sledujte hry, poslouchejte hudbu, ale nezatěžujte se drby okolo). Raději se věnujete skutečným hodnotám světa a přírody, ať už je to kosmologie, moderní fyzika, astronomie či kosmologie nebo třeba živá příroda okolo vás — květiny, práci, zvířata. Neomezujte se na módní povrchní žvanění a snažte se vždy pronikat k podstatě věci. Jen znalí občané se nenechají ovládat šarlatány ani profesionálními manipulátory a dokáží vést společnost ke skutečné prosperitě.


Poznámky


Přechod na domovskou stránku