Keplerovy zákony a gravitace

Keplerovy zákony oběhu planet:
  1. Planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách, v jejichž jednom společném ohnisku je Slunce.
  2. Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za stejný čas jsou stejně velké.
  3. Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je stejný jako poměr třetích mocnin jejich hlavních poloos

Jen šarlatán se obejde bez matematiky

Jednou ze zbraní lidí omezeného chápání je zakázat lidem to, čím sami nevynikají — samostatně myslet. A protože je pro ně snazší společenské klábosení než přesné uvažování, snaží se potlačit zejména ty oblasti lidského myšlení, pro které je přesné uvažování typické — matematiku, přírodní a technické vědy. Důkazem nám budiž současná snaha některých „intelektuálů“ potlačit jejich význam ve školství (nepovinná maturitní zkouška z matematiky, nepřipustit objektivní státní maturitní zkoušky) a obecný odklon od těchto oborů na vysokých školách i v životě společnosti a nahradit vše racionální světem pověr a mýtů - podrobnější analýzu najde čtenář v knize G. Holtona nebo v  tomto autorově článku.

Jedněmi z viníků tohoto stavu jsou nepoctiví novináři z bulvárních novin, které poskytují mnohem větší ohlas nepodloženým primitivním pseudovědeckým senzacím než skutečným vědeckým objevům. On prostě novinář zvyklý šířit zejména drby o různých filmových a pěveckých celebritách snáze sežene drby i o skutečných osobnostech z oblasti vědy a techniky, aniž by měli tušení, na jakých problémech tito lidé pracují. A bohužel mají takové povrchní články i větší mediální ohlas. Ale netýká se to jen bulvárních novin. I autoři populárně vědeckých knih dnes omezují použití přesnějších formulací a zejména jakékoliv zmínce o matematice a tím hrubě zkreslují smysl a obsah probírané problematiky. A současně tím posilují laické představy čtenářů, že k pochopení současného pohledu přírodovědců na svět se bez matematiky a přesného uvažování obejdou.

Jako příklad uvedu Simona Singha a jeho knihu Velký třesk... . Hned velikášský název vzbuzuje podezření, že autorovi chybí základní charakteristika vědeckého přístupu — vědecká skepse — a namísto věcného výkladu píše typicky bulvární technikou: namísto přesných závěrů vědeckých autorit např. uvádí zejména jejich z kontextu vytržené citace.

Hned v úvodu slibuje čtenáři, že jej nebude zatěžovat jakoukoliv matematikou. Asi proto při historickém výkladu renesanční astronomie vynechává jeden z hlavních objevů Johana Keplera — jeho třetí zákon oběhu planet. Zákon, k jehož objevu potřeboval po objevu těch prvých dvou dalších 10 let (1609-1619). Zřejmě proto, že takový zákon lze bez použití matematiky těžko formulovat — těžko lze bez ní hovořit o poměru druhých a třetích mocnin nějakých veličin. V téže kapitole dokonce viní Tycho de Braha, že pro kinematický popis pohybu planet používá geocentrický souřadný systém — a neuvědomuje si přitom, že pozorování bylo prováděno ze Země, proto prvotní data se vždy vztahovala k Zemi, a teprve pro popis jejich pohybu vzhledem ke Slunci je nutno je převést do heliocentrického systému. kde jsou drahami planet ony Keplerovy elipsy.  Přitom kinematický pohyb je možno analyzovat v libovolném souřadném systému; ten heliocentrický, tedy inerciální, je nezbytný pouze pro dynamický popis, ale ten dokázal provést až Isaac Newton.

Vektorová symbolika

Při zápisu fyzikálních zákonů často používáme vektorovou symboliku. Vektory v rukopise označujeme šipkou nad písmenem, jak jste zvyklí ze školy, zatímco v tištěném textu je označujeme tučným písmem. Pokud A je vektor, potom samotné písmeno A zvýrazněné kursivou označuje jeho velikost 

A = √( A12 + A22 + A32 ), 

kde A1, A2, A3 jsou složky vektoru A.

Skalárním součinem vektorů AB nazýváme skalární výraz 

AB = ( A1.B1 + A2.B2 + A3.B3),

jejich vektorový součinem vektor

A × B = (A2.B3 - A3.B2 , A3.B1 - A1.B3 , A1.B2 - A2.B1 )

Vektorový součin má velikost rovnou ploše rovnoběžníka vytvořeného z vektorů AB a je k oběma vektorům kolmý. Zatímco skalární součin existuje analogicky i pro vektory jiných dimenzí, je vektorový součin specifický pro trojrozměrný prostor.

Vektorová symbolika je názorná a je vhodná k vyjádření jednoduchých rovnic v klasickém třírozměrném prostoru. Pro složitější vztahy, ale zejména pro časoprostor teorie relativity, je používána tenzorová symbolika, kterou čtenáře nebudu zatěžovat.

Historie objevu Keplerových zákonů

Johan Kepler byl jedním z nejschopnějších matematiků své doby. V mládí sdílel mínění pythagorejců, že dráhy planet musí odpovídat nějakému prostému číselnému schématu. Proto začal počítat parametry jejich drah kolem Slunce. Zaujal tím rudolfínské astronomy natolik, že si jej Tycho de Brahe pozval k sobě do Prahy.

V Praze přepočítal Kepler své výpočty na základě přesných Tychonových pozorování a v roce 1609 zformuloval své prvé dva zákony. Tedy zákony, které popisují dráhy jednotlivých planet, ale neudávají žádné vztahy mezi nimi. K nalezení zákona, který takový vztah udává (tedy toho třetího), potřeboval dalších 10 let, publikoval jej až v roce 1619. I když žádné kýžené numerologické schéma nenašel, je možno právě tento zákon pokládat za jakéhosi naplnění jeho mladických představ.

Druhý Keplerův zákon a zákon zachování

Nechť planeta Z se pohybuje kolem Slunce S rychlostí v; označme r průvodič SZ. Potom plocha, kterou opíše průvodič planety za dobu dt je rovna polovině plochy rovnoběžníka podle obrázku (šedivá plocha); nový průvodič bude jeho úhlopříčkou. Plochu rovnoběžníka ovšem můžeme vyjádřit jako vektorový součin r × v dt ; aby byla stejné pro všechny intervaly dt , musí být konstantní i samotný součin r × v . Označíme-li m (konstatntní) hmotnost planety, potom její hybnost je rovna p = m v. Potom ovšem i moment hybnosti planety 

M = r × p = r × (m v

musí být konstantní v čase. Druhý Keplerův zákon tedy vyjadřuje zákon zachování momentu hybnosti planety.

Je to důsledkem centrálního charakteru síly F , kterou slunce přitahuje planetu. Tato síla vždy směřuje ke Slunci, je tedy rovnoběžná s průvodičem r , proto její moment r × F a jím působená změna momentu hybnosti jsou nulové. Druhý Keplerův zákon tedy platí nejen pro pohyb planety v gravitačním poli Slunce, ale při působení jakékoliv centrální síly, která směřuje do středu. Prvý důkaz tohoto tvrzení uvedl již Isaac Newton ve svých Principiích.

Stojí snad za poznámku, že zákony zachování tvoří dnes základní pilíře veškeré moderní fyziky i kosmologie, někdy platí dokonce obecněji, než některé speciální fyzikální modely. Jako dokázala Emmy Noether, souvisí každý takový zákon zachování s některou symetrií prostoru, a prvním požadavkem na každý nový matematický model je respektování empiricky ověřených zákonů zachování. To má v dnešní fyzice, která dosud nedokázala uvést své základní modely do souladu, zásadní význam.

O symetrii prostoru a zákonech zachování se může čtenář dočíst např. v knize L. M. Ledermana a C. T. Hilla: Symetrie a Krása Vesmíru.

Třetí Keplerův zákon a gravitační zákon

Obecný důkaz o tom, že gravitační síla, kterou Slunce přitahuje planetu splňující Keplerovy zákony, ubývá s druhou mocninou vzdálenosti r, podal opět Isaac Newton ve svých Principiích, stejně jako opačný důkaz, tedy že planeta, která je přitahována takovou silou, splňuje Keplerovy zákony. Zde odvodíme tuto závislost jen pro speciální případ kruhového pohybu, kde vystačíme se středoškolskou fyzikou.

Kruhová dráha je speciálním případem dráhy eliptické, přitom planeta se pohybuje rychlostí konstantní velikosti v . Aby se planeta pohybovala po kruhové dráze, musí mít takovou rychlost, aby síla přitažlivosti byla stejná jako odstředivá síla. Pro ní ovšem platí známá rovnice F = m v² / r . Délka kruhové dráhy je rovna 2 π r , oběžná doba

T = 2 π / v .

Dosadíme-li do Třetího Keplerova zákona / T² = const za poloosu poloměr r , dostaneme pro rychlost v rovnici 

v² = 4 π². const / r  

a dosadíme do výrazu pro sílu, dostaneme nakonec

F = v² / = 4 π² . const . m / .

Síla je tedy skutečně úměrná hmotnosti planety a ubývá se čtvercem vzdálenosti od centra; vzhledem k zákonu akce a reakce musí být úměrná i hmotnosti druhého tělesa, Slunce. Pokud součin konstant v zákoně nazveme gravitační konstantou, dostaneme obvyklou formu Newtonova gravitačního zákona.

 Sluší se snad dodat, že Isaac Newton podal v Principiích nejen obecný důkaz tohoto tvrzení, ale dokázal odhadnout i poruchy, jaké do tohoto obrazu přinese existence dalších planet (poruchová teorie). Kromě toho prokázal, že pokud se systém několika těles (třeba Země a Měsíc) pohybují v téměř homogenním gravitačním poli vzdálené hvězdy (třeba Slunce), je jejich vzájemný pohyb téměř stejný, jako kdyby tohoto pole nebylo, pouze celý systém (Země a Měsíc) obíhá kolem hvězdy jako jedno těleso. Díky těmto důkazům popisuje Newtonův gravitační zákon naší sluneční soustavu s vysokou přesností; odchylky od ní vysvětluje až Einsteinova teorie relativity.

Dráha planety a gravitační zákon

Třetí Keplerův zákon je vztahem mezi parametry dráhy planety a její oběžnou dobou. V předchozí kapitole jsme její aplikací na fiktivní planety s kruhovou drahou pro ně odvodily tvar gravitačního zákona. Když si ale uvědomíme, že prvé dva Keplerovy zákony dovolují rekonstrukci celé eliptické dráhy planety a tedy i rekonstrukci působící síly, měla by forma gravitačníhio zákona vyplývat již z těchto dvou zákonů.

A skutečně Isaac Newton ve svých Principiích v Prvé knize v sekci 2 : O nalezení centrálních sil a v sekci 3: O pohybu těles po výstředných kuželosečkách dokazuje, že u tělesa, které se pohybuje pod vlivem centrální síly po elipse se středem v jejím ohnisku, splňuje tato centrální síla gravitační zákon, a naopak síla splňující gravitační zákon způsobuje pohyb po elipse (či jiné kuželosečce — parabole, hyperbole) se středem v jejím ohnisku.

Newton opisuje ještě další případ, kdy se těleso pod vlivem centrální síly pohybuje po elipse, tentokrát kolem jejího středu. Je to v případě tzv. harmonické síly, která směřuje do centra a její velikost je úměrná vzdálenosti — taková síla působí s velkou přesností při malých výchylkách u kyvadla — tělesa zavěšeného na vlákně pevné délky, které se může pohybovat ve dvou kolmých vodorovných směrech — označme je xy , zatímco jeho výška z je pevná. Označíme-li r vektor spojující okamžitou polohu tělesa s bodem přímo pod bodem zavěšením kam klesne těleso v klidu, potom jeho pohybovou rovnici (v rovině x - y) popisuje podle 2. Newtonova zákona rovnice:

m . (d²r / dt²) = - α . r ,

kde výraz v závorce označuje druhou derivaci podle času; α je konstanta společná pro směry xy . Vzhledem k úměrnosti síly vzdálenosti je možno oddělit rovnice pro jednotlivé složky vektoru r, v rovnici separovat proměnné:

m . (d²x / dt²) = - α . x ,

m . (d²y / dt²) = - α . y ,

(pohybu kyvadla ve svislém směru z brání závěs) a pohyb kyvadla v obou směrech probíhá tedy nezávisle na sobě. Řešením je harmonický pohyb, kde výchylka v každém směru je úměrná součtu sinu a kosinu násobku času se stejnou frekvencí — výslednicí vzniklou jejich složením je tedy pohyb po elipse, její parametry určují počáteční podmínky. Naopak, pokud není síla co do směru i velikosti úměrná vektoru r , ale závisí i na jeho velikosti r , závislé na všech jeho složkách, separaci provést nelze a pohyby ve všech směrech nejsou nezávislé.

Totéž platí i pro harmonický pohyb volného tělesa v prostoru, pro které je síla úměrná vzdálenosti od středu; pohyb se skládá z harmonických kmitů podle všech tří os x, y a z, výslednicí je opět pohyb po elipse se středem v centru sil. Takto kmitají např. jednotlivé atomy v krystalech s vysokou symetrií.

Známým příkladem kyvadla je tzv. Foucaultovo kyvadlo — těžké závaží zavěšené na dlouhém tenkém závěsu, které se volně kýve ve vodorovné rovině kolmé na závěs. Pokud by se kývalo na zemském póle, potom by si zachovávalo rovinu kyvu vůči inerciálnímu systému a ne vůči rotující Zemi a rovina kyvu by se tedy za 24 hodin otočila dokola; naopak a rovníku by se neměnila a někde mezi pólem a rovníkem by se stáčela, ovšem pomaleji než na póle. Takové zařízení bývá v muzeích a planetáriích využíváno k důkazu o zemské rotaci.

Pokud jste někdy takové kyvadlo v našich severních šířkách pozorovali, mohli jste si všimnout, že u něj nedochází jen ke stáčení roviny kyvu, ale kývání se postupně mění z čistě rovinného na eliptické, tj. tak, jak je popsáno výše. Odchylku od rovinnosti může působit jak zemská rotace (střed kyvu vlastně pomalu mění svou polohu vůči inerciálnímu systému), navíc působí odpor prostředí a jiné síly. V každém případě taková demonstrace vyžaduje těžké závaží zavěšené na dlouhém závěsu, které se dokáže kývat po několik hodin bez zásahu.

Smyslem posledního příkladu ale nebylo ani tak demonstrovat harmonický pohyb, jako jeden ze základních postupů při řešení diferenciálních rovnic — separaci proměnných — umožňující zjednodušit třírozměrnou diferenciální rovnici na jednodušší případ jednorozměrných rovnic. Podobné postupy, např. vhodné substituce proměnných, nabízí matematika, a jejich použití ve fyzice často vede k novým pojmům. Takto vznikly v kvantové mechanice a fyzice pevných látek pojmy jako foton, fonon, kvazielektron a díra, exciton apod., k nim se váží laické dotazy typu „existuje tedy foton, fonon, …“. Otázky po existenci takových objektů nejsou prosté zvláště tehdy, když odpovídající kvazičástice je důsledkem přibližného výpočtu. Přesto se ukazuje, že takové pojmy je užitečné zavádět a umožňují pochopit a dokonce předpovídat, jak vznikají některé jevy, u kterých je možno příslušné mechanismy jinak chápat těžko. Samozřejmě s tím, že jsme si vědomi, že vše platí jen přibližně a naše úvahy tedy mohou v některých konkrétních případech selhat.

Závěr

Vidíme, že některé partie klasické kosmologie je možno chápat, nebo alespoň ilustrovat, na základě běžné znalosti středoškolské fyziky, někdy stačí i znalosti ze základní školy. U složitějších matematických modelů, s jakými pracuje fyzika současná, to samozřejmě možné není. Pokud si projdete a promyslíte uvedené příklady, kde stačí i vaše znalosti matematiky, je to zajisté užitečnější cvičení než hltání tzv. fantastické literatury. Podle autorových zkušeností mají její autoři nesrovnatelně méně fantazie než skuteční fyzikové, ovšem jejich četba nevyžaduje žádné znalosti a schopnost přemýšlet. Nemluvě o tom, že takoví autoři projevují často i hrubou neznalost problematiky, o které tak nadšeně píší. Hrubou neznalost je těžké nahradit bezbřehou fantazií, jen spojení obojího může vést k užitečným výsledkům. 

Hlavně ale nevěřte šarlatánům, kteří velkoryse žvaní o současných modelech vesmíru a přitom by nezvládli ani jednoduché úvahy, jaké jsou uvedené v tomto článku. Moderní fyzika a kosmologie užívá k vyjádření svých myšlenek složitý matematický aparát a bez něho není možné jim hlouběji porozumět.

Konec


Poznámky


Přechod na domovskou stránku