Co bylo před velkým třeskem?

Dávno, dávno již tomu, kdy na oběžné dráze pípaly první sputniky a já jako mladík jsem se zasněně díval na hvězdnou oblohu. Můj zájem o ty nejobecnější otázky přírody, vesmíru i mikrosvěta mne nakonec dovedly jako studenta na matematicko-fyzikální fakultu University Karlovy, kde jsem zakončil studium na katedře teoretické fyziky. I když komunističtí kádrováci později zastavili mou šanci na vědeckou práci a jejich marxisticko-leninská prozřetelnost mne odkázala do mnohem prozaičtějších sfér, na tuto etapu naplňující einsteinovský ideál dobrodružství poznání nikdy nezapomenu a nebudu jí litovat, i když uplatnění nabytých vědomostí mi nebylo dáno.

Zejména nezapomenu na skvělé přednášky Karla Kuchaře o kosmologii, ve kterých nám dokázal přiblížit ji  jak jako téměř laikům - studentům prvého a druhého ročníku, tak později s veškerou matematickou elegancí v ročnících vyšších, ústřední předmět svého zájmu - kosmologii, a to nejen jako suchou fyzikální disciplínu, ale hlavně i filosofické otázky s tímto oborem spojené. Stejně nezapomenu na vedení Jozefa Kvasnici, který nám dokázal předat nejen suchou fyzikální teorii, ale neotřelým způsobem i nadšení a lidský přístup k nejvyšším fyzikálním metám.

Na druhé straně jsem studiem moderní teoretické fyziky i leccos ztratil - když jsem se pokoušel číst onu „vědecko-fantastickou“ literaturu, na kterou si tenkrát i dnes mládež tak potrpěla, rychle jsem zjistil, že „fantazie“ jejich autorů je značně omezená a nedá se prostě srovnávat s obrovskou invencí tvůrců moderních fyzikálních teorií. Zejména, pokud se její autoři vyžívali v technických popisech různých „strojů času“ a podobných pseudotechnických kuriozit. Snesu ještě autory (jako příklad uvádím často Svatopluka Čecha a jeho Pana Broučka), kteří dokáží dostat své hrdiny bez bližšího technického rozboru do nezvyklé situace, a z ní potom vytěží zajímavý příběh. Samozřejmě, pokud hrdina nevezme do ruky třeba osobní komunikátor (dnes bychom řekli mobil) a nezačne rozprávět s přítelem na druhém konci galaxie - tady mi moje znalost relativistické reality poněkud vadí.


1. Původ „paradoxů“ moderní fyziky

Přede lety jsem tedy pronikl do tajů (tehdy) moderní fyzikální teorie, kterou jsem poznal s její veškerou matematickou elegancí - dnes bych asi byl stěží schopen napsat většinu přesných rovnic z různých fyzikálních disciplín, ale něco z toho, zejména pokud jde o filosofický přístup k problémům, ve mne zůstalo. Pochopil jsem přinejmenším základní paradox v moderním pohledu (a slovo "moderní" zde znamená nejméně jedno století) na fyzikální popis přírody. Klasická newtonovská fyzika umožňovala - alespoň v tom nejjednodušším pojetí - vytvoření zjednodušujících modelů, kterým bezprostředně odpovídaly - alespoň v určitém přiblížení - objekty reálného světa; v moderní fyzice si musíme stále uvědomovat, že naše rovnice, kterými se snažíme popsat přírodu, jsou pouhým matematickým modelem, který nám více či méně umožňuje předvídat chování studovaných objektů, ale že ona primitivní „objektivní existence“ fyzikálních pojmů, jako nám o ní kázali mj. marx-leninští ideologové, je často problematická. Stejně, jako je tomu s používáním pojmů, které si po léta vytvořila lidská intuice, ale které jsou použitelné (s jistou nepřesností) jen dokud nevybočí za meze platnosti klasické fyziky.

Tak třeba Max Planck při studiu termodynamiky elektromagnetického záření a později Albert Einstein při studiu fotoefektu zavedli pojem základního energetického kvanta elektromagnetického pole - fotonu. Vzhledem k tomu, že výraz pro energii elektromagnetického pole je přesně kvadratický, je takové kvantování tohoto pole korektní a je snad na místě formulace, že takový foton "objektivně existuje". Podobně kvadratický je i výraz pro energii jednotlivých atomů ve fyzice pevných látek, ale pouze přibližně. I zde zavedli analogicky fyzici kvantové představy a v analogii s pojmem fotonu zavedli fonon (vlastně kvantum zvukových vln). Tento pojem (stejně jako jiné tzv. kvazičástice, třeba „kvazielektrony“ a „díry“ v polovodičích) byl velmi produktivní a umožnil nám pochopit mnohé jevy v pevných látkách a vedl např. ke konstrukci transistoru (základ moderní elektroniky) a v podstatě i laseru. Určité odchylky od ideálního chování fononů, vlastně důsledky odchylek od kvadratičnosti potenciálu, řešili mj. zavedením „fonon - fononové“ interakce a podobnými pojmy. Lze tedy říci, že zavedení pojmu fonon přineslo mnohý užitek, proto ho můžeme fyzikům těžko vyčítat.. Ovšem troufali byste si na základě těchto znalostí (a jejich přesné matematické formulace) tvrdit, že takový fonon „objektivně existuje“ ? Já tedy ne!

A tak je tomu s mnohými jinými pojmy v moderní fyzice - nutno přísně rozlišovat mezi pojmy zavedenými matematickým modelem a skutečností. Většina tzv. „paradoxů“ mezi reálným životem a moderní fyzikou vyplývá z automatického použití určitých pojmů, které vznikly abstrakcí každodenního pozorováním, ale které nelze automaticky přenášet do oblastí, kde už  obvyklé klasické zákony neplatí. Při formulaci jakéhokoliv výroku je v méně obvyklém prostředí (např. relativistickém či kvantově mechanickém). Problém „objektivní existence“ fononu z minulé kapitoly je důsledkem nejasné definice pojmu „objektivně existuje“ - zde naráží fyzika na obecnou filosofickou disciplínu - teorii poznání (gnoseologii) - ale to už ponechme filosofům.

2. Naivní pozorování a matematické modely

Základní představy o světě vznikají jednoduchou abstrakcí při jeho pozorování. Teprve přesnější využití těchto poznatků vyžaduje zpřesňování formulací, její konečnou formou bývají matematické modely.

Tak jednou ze základních potřeb antických lidí bylo vyměřování pozemků. Zvláště tam, kde byla půda nejúrodnější - v údolí velkých řek (Nil, Eufrat, Ganga apod.), kde byly pozemky každoročně zaplavovány a bylo je nutno každoročně znovu vyměřovat. Tak vznikly základy zeměměřičství - geometrie. Antičtí lidé (Euklides, Pythagoras aj.) dokázali dovést geometrii na poměrně vysokou úroveň - včetně metodiky matematických důkazů - ale přesto nedokázali své myšlení povznést nad formu jednoduchých obrázků - nedozráli ještě k vyšší abstrakci. Tak Pythagorova věta (v antické formulaci) srovnává plochy čtverců (v doslovném pojetí - jako geometrických útvarů) nad stranami pravoúhlého trojúhelníka, ale v antice se nedokázali povznést nad toto „obrázkové“ pojetí a zapsat jí v dnešní formě rovnice  a2 + b2 = c2 .

Pád antiky znamenal hluboký úpadek křesťanské (a germánské) Evropy a na dalším pokroku matematiky měli zásluhu arabští matematikové (např. Ibn Músa al-Chwarizmí zvaný latiníky Algeber - zakladatel moderní algebry, žil okolo roku 825 v Andaluzii v dnešním Španělsku), zejména odklonem od antických obrázkových schémat k opravdové abstrakci, a též zavedením arabského zápisu čísel, který, jak dnes asi každý uzná, je jednodušší než produkt antické a křesťanské tradice - římská čísla. Nelze zanedbat ani vliv dálného východu - tak za zavedení nuly prý vděčíme indické tradici. A pokud byste pátrali po matematických základech dnešní počítačové kryptografie, narazíte nejen na tzv. „malou Fermatovu větu“ ze 17. století, ale i na tzv. „čínskou větu o zbytcích“ obsaženou již v knize čínského matematika Su Tzu z třetího století.

Svou vůdčí roli v oblasti exaktního myšlení nastoupila „Evropa“ až v době renesance po pádu křesťanského fundamentalismu; vzápětí dospěla na poli matematiky k takovým abstrakcím, jakou je přechod od spočetných množin (přirozená či racionální čísla) k nespočetným množinám (reálná čísla). Zásadní změnu do geometrie (a později i fyziky) přineslo zavedení souřadných systémů a opuštění antických obrázkových schémat (což se bohužel dosud málo odrazilo v evropském „jezuitském“ školství preferujícím antické vzory - jim je bližší antický Euklides než reformista René Descartes - pro latiníky Renatus Cartesius - a jeho kartézský souřadný systém). I další pokroky v oblasti fyziky probíhaly současně s vývojem matematiky - tak nástup Newtonovy mechaniky si vyžádal zavedení infinitesimálního (diferenciálního a integrálního počtu), Maxwellova elektrodynamika se neobešla bez Gaussovy diferenciální geometrie, relativistická fyzika potom s výhodou využila aparátu Riemanovy diferenciální geometrie zakřivených ploch (přitom samotná Riemanova geometrie neopouští klasické euklidovské metrické prostory). A kvantová mechanika se dnes neobejde bez matematické teorie Hilbertových prostorů (s nekonečnou dimenzí!)

Konečně zavedení vyšší formy abstrakce není jen výsadou 20. století. Již např. klasická mechanika zavedla popis systémů pomocí Hamiltonových rovnic, kde vystupují jako více či méně nezávislé veličiny vedle souřadnic i hybnosti, najednou se tedy pohybujeme v šestirozměrném fázovém prostoru (trojice souřadnic, trojice hybností), což později našlo své uplatnění ve statistické fyzice a ještě později i v kvantové mechanice. A zatímco Newtonovy rovnice preferují tzv. inerciální souřadné systémy, forma Lagrangeových rovnic je stejná ve všech souřadných systémech stejně, jako je tomu s Einsteinovými rovnicemi obecné teorie relaticvity. Podstatné je, že tyto přístupy zůstaly ukryté mezi hrstkou teoretických fyziků a nedotkly se příliš veřejnosti.

Zatímco např. architekti či konstruktéři mechanických strojů často používají intuici a prostorovou představivost, při přesném matematickém myšlení je nutno používat stroze matematický formalismus a nespoléhat se na intuici. Pamatuji se, jako jsme na universitě prováděli klasifikaci kvadratických ploch v trojrozměrném prostoru - již tady by použití intuice asi způsobilo vynechání některých variant, nemluvě o různých pohledech na problém z hlediska projektivních, afinních a metrických prostorů. Klasická geometrie zvládala maximálně jednoduché kvadratické křivky (kružnice, elipsa, parabola, hyperbola) a ani pro ně nedokázala odvodit základní charakteristiky (třeba délku kružnice, plochu kruhu). Jejím typickým pseudoproblémem byla tzv. „kvadratura kruhu“ - vyjádření plochy kruhu obrázkovou konstrukcí euklidovského typu. Konečné řešení tohoto problému přinesla až analytická geometrie, včetně neřešitelnosti „kvadratury kruhu“ euklidovskou konstrukcí.

Zcela selhává lidská představivost u složitějších matematických konstrukcí - např. metrických prostorů vyšší dimenze, nemluvě třeba o čtyřrozměrném Minkowského prostoru s indefinitní metrikou či prostorem s obecnou metrikou obecné relativity. Zde se na jakoukoliv představivost nelze spoléhat a je nutno použít formální matematické postupy.

Jako příklad uvedu formalizovaný výpočet plochy trojrozměrné koule a jeho zobecnění na výpočet trojrozměrné velikosti povrchu čtyřrozměrné koule (povrch je vázán jednou podmínkou - konstantní vzdálenost od počátku, proto výsledkem je trojrozměrný prostor.) Již zde vidíme chybějící pojmy - máme pojem „objem“ chápat jako trojrozměrnou entitu (v analogii s trojrozměrným prostorem) nebo jako čtyřrozměrnou. Pro povrch koule používá matematika pojem nadplocha (objekt s dimenzí o jednu menší než dimenze celého prostoru), ale je její mírou plocha? Nebo objem? V dalším se přidržím posledního, ale nikomu takovou terminologii nebudu vnucovat.

Koho by vás moje matematická exhibice, založená zejména na známé formulce

sin2 α + cos2 α =

příliš unavila, může další dva odstavce přeskočit, mají pouze ilustrační význam.

3. Výpočet povrchu trojrozměrné koule

S použitím základních pouček trigonometrie se můžeme přesvědčit, že množina bodů vyjádřených v tzv. sférických souřadnicích s konstantní hodnotou r má od počátku konstantní vzdálenost; jako dvourozměrnou ji popisujeme dvěma tzv. sférickými souřadnicemi φ v intervalu <0, 2.π) — analog zeměpisné délky — a θ v intervalu <0, π>. Souřadnice θ je analogem zeměpisné šířky; ovšem ve fyzice je zvykem ji měřit od „jižního pólu“, kde má hodnotu nula, k pólu severnímu, kde má hodnotu π . Použití klasické zeměpisné šířky by se projevilo záměnou sinů a cosinů, možná někde změnou znaménka, výsledek by byl samozřejmě stejný; úhly neměříme ve stupních ale v radiánech, což přináší zjednodušení při použití diferenciálního a integrálního počtu.

x = r . sin φ . sin θ,
y = r . cos φ . sin θ,
z = r . cos θ,

Vektor elementu plochy (v kartézském x, y, z) systému vypočteme jako determinant: v prvém řádku uvedeme jednotkové vektory ve směru kartézských souřadnic, v dalších parciální derivace našich souřadnic plochy podle x, y a z:

 xyz
r cos φ sin θ-r sin φ sin θ0
r sin φ cos θr cos φ cos θ- r sin θ

tedy po výpočtu determinantu a úpravě dostaneme pro jednotlivé složky:

dSx = r2 sin φ sin2 θ ,
dSy = r2 cos φ sin2 θ ,
dSz = r2 (cos2 φ sin θ cos θ + sin2 φ sin θ cos θ) = r2 sin θ cos θ .

To jsou složky vektoru plochy v jednotlivých místech; velikost vektoru vypočteme jako součet druhých mocnin složek:

dS2 = r4 [(sin2 φ + cos2 φ) sin4 θ + sin2 θ cos2 θ]
= r4 sin2 θ (sin2 θ + cos2 θ)
dS = r2 sin θ dφ dθ 
S=

Dostali jsme samozřejmě všeobecně známou formulku. Užitečnost tohoto postupu se projeví až v dalším odstavci, kde provedeme analogický výpočet pro kouli ve čtyřrozměrném prostoru, kde už (alespoň pokud jde o mne) žádná představivost nefunguje, ale matematický formalismus ano.

4. Výpočet povrchu čtyřrozměrné koule

K popisu čtyřrozměrného prostoru potřebujeme čtvero souřadnic, nazveme je x, y, z a w. Čtyřrozměrná koule je trojrozměrný objekt, proto k jeho popisu použijeme tři zobecněné sférické souřadnice φ, θ a α:

x = r . sin φ . sin θ . sin α,
y = r . cos φ . sin θ . sin α,
z = r . cos θ . sin α,
w = r . cos α .

Souřadnice φ  a  θ  jsou stejné jako v předchozím případě, souřadnice α je jakousi další „zeměpisnou šířkou“.  Snadno se přesvědčíme, že vzdálenost všech bodů tohoto objektu od počátku je roven r. Stejně jako v předchozím případě vypočteme (čtyřrozměrný) vektor povrchu naší koule:

 xy zw
r cos φ . sin θ . sin α -r sin φ . sin θ . sin α 0 0
r sin φ . cos θ. sin α r cos φ . cos θ . sin α - r sin θ . sin α 0
r sin φ . sin θ . cos α r cos φ . sin θ . cos α r cos θ . cos α - r  sin α

 Po výpočtu determinantu:

dVx = - r3 (sin φ sin2 θ sin2 α) sin α,
dVy = r3 ( sin φ sin2 θ sin2 α) sin α,
dVz =  r3 (- cos2 φ sin θ cos θ sin2 α - sin2 φ sin θ cos θ sin2 α) sin α
=  -r3 ( sin θ cos θ sin2 α ) sin α
dVw = r3 (cos2 φ sin θ cos2 θ sin α cos α + sin2 φ sin3 θ sin α cos α
+ cos2 φ sin3 θ sin α cos α + sin2 φ sin θ cos2 θ sin α cos α 
= r3 (cos2 φ sin θ + sin2 φ sin θ) sin α cos α sin α
= r3 (sin θ sin α cos α ) sin α
(dV)2 = r6 sin2α . (sin4θ.sin4α + sin2θ.cos2θ.sin4α + sin2θ.sin2 α.cos2α) 
= r6 sin2θ.sin4α.(sin2θ.sin2α + cos2θ.sin2α + cos2α)
= r6 sin2θ.sin4 α
dV = r3 sin θ.sin2α dφ dθ dα
V =

vzhledem k tomu, že (podle integrálních tabulek)

.

Uvedený příklad měl ilustrovat tři skutečnosti:

  1. Použitím známých matematických mechanismů lze provádět běžné výpočty i tam, kde naše představivost a intuice klame. Nakonec - předvedený výpočet plochy koule je obecnou metodou, jako podle Gausse počítat plochy libovolných dvourozměrných ploch, dokud je dokážeme parametricky popsat. A navíc - formálně stejně můžeme odvodit formulku např. pro délku hranice dvourozměrné koule - tedy délku kružnice, případně její plochu.  Tímto způsobem (spolu s důkazem, že číslo π nelze získat euklidovskou konstrukcí) lze dokázat, že euklidovskou konstrukcí nelze řešit „kvadraturu kruhu“.
  2. Ony „otravné“ matematické vzorečky ze školy neslouží jen k otravování žáků, ale mohou přinášet i praktický užitek. A určitě vypovídají o světě více, než laciné tzv. vědecko-fantastické romány či laciné senzace novinářských primitivů.
  3. Při vytváření matematických modelů skutečnosti jsou pří řešení matematických problémů často používány formální postupy (různé substituce, přechod k jiným souřadným systémům apod.), jejich přímý fyzikální význam není vždy zřejmý. Takové postupy nejsou v žádném případě závadou modelu.

5. Paradoxy mechanistického pojetí světa

Na základě pozorování přírody si vytvořili lidé již v antickém světě jistá zobecnění, která jim pomáhala v každodenním životě. Tak námořníci a jejich systém lan a kladek vedl k pojmu síly, stavbaři používali páky a rampy (nakloněná rovina), podobně další „jednoduché stroje“. Vyšší abstrakcí této zkušenosti je pojem „hmotný bod“ (na jeho rozměrech nezáleží) a „tuhé těleso“. Všechny tyto pojmy jsou založeny na koncepci přímého působení na dálku: zatáhnu za provaz a těleso se zvedne, zatlačím na kvádr a on se dá do pohybu. Teprve, když se mi provaz přetrhne či rampa spadne, začnu se starat o statiku - o pevnost materiálu. Ale při konstrukci rychlejších mechanismů může nastat další jev - přenos síly nenastane okamžitě, ale s určitým zpožděním. Znají to dobře horolezci - když spadnou do lana, lano se nejprve prodlouží, deformuje, pohltí část pádové energie, teprve potom pád horolezce zastaví. Proto při pádu do pružného nylonového lana je menší riziko jeho přetržení či vytržení jisticích bodů, protože při pádu působí menší síly, naopak např. u konopného lana je deformace minimální, proto působí síly mnohem větší. Pokus ovšem jištění zabere, nedojde u konopného lana k prověšení horolezce, třeba až na zem.

Síla a deformace v reálných materiálech se totiž ve skutečnosti nepřenáší okamžitě, ale konečnou rychlostí, které obvykle říkáme rychlost zvuku v daném materiálu (přenos zvuku je totiž vlastně přenosem deformace) - řádově stovky metrů za sekundu. Pokud jsou rozměry systému malé a přenos deformace je rychlejší než rychlost studovaných jevů, můžeme (z pohledu newtonovské mechaniky) časová zpoždění zanedbat a abstrakce tuhých těles je uspokojivá.

Nutno zdůraznit, že onen zjednodušený pohled na klasické mechanismy, který zanedbává konečnou rychlost přenosu deformace a síly v reálném materiálu je velmi konstruktivní - dovoluje na základě jednoduché intuice navrhovat složité mechanismy, které jsou doposud tím, co nám nejvíce usnadňuje život. Samozřejmě - součástí návrhu takového systému musí být nutně statická úvaha, založená na pevnosti materiálu. Většinou s takovým pohledem vystačíme, i když některé nehody způsobily, že dnes je přinejmenším u některých konstrukcí (třeba u mostů) povinností prozkoumat alespoň dodatečně i dynamické vlastnosti systému, např. nebezpečí rozkmitání větrem, či ono pověstné „zrušení kroku“ u pochodujícího útvaru. Pouze návrh rychle se pohybujících mechanismů - třeba při návrhu lopatek parní či plynové turbíny či profilu nadzvukových letadel, jsou dynamické  vlastnosti systému uvažovány od samého počátku. Jistý zjednodušený pohled na svět nám tedy nejen zjednodušuje život, ale umožňuje zapojit lidskou představivost a intuici tam, kde to funguje; pouze si musíme být vědomi, v jakých oblastech a v jakých případech je použitelný. 

Zcela jiná situace je ovšem ve speciální teorii relativity. Principy této teorie požadují, aby přenos jakékoliv informace (třeba deformací materiálu) neprobíhal rychleji, než odpovídá univerzální konstantě zvané rychlost světla. Rychlost, která je o mnoho řádů vyšší, než třeba rychlost zvuku v libovolném materiálu. Tomu vyhovuje každý reálný objekt studovaný klasickou mechanikou. Ovšem pojem tuhého tělesa, kde je přenos informace okamžitý, je v relativistické mechanice nepoužitelný. Stejně jako pojem síly, abstrakce přímého působní na dálku. Přenos jakékoliv informace může zprostředkovat pouze fyzikální pole, a to maximálně rychlostí světla. 

Podobně pojem „hmotného bodu“ vznikl abstrakcí tělesa, jehož rozměry jsou zanedbatelné vzhledem k rozměrům systému. Ovšem v obecné teorii relativity je každá hmota též zdrojem gravitačního pole. A gravitační pole nekonečně malé hmotné částice by neslo nekonečnou energii a tedy i nekonečnou hmotnost. Každé těleso z reálného života tomu samozřejmě vyhovuje. Proto pojem hmotného bodu, tak použitelný v klasické mechanice, je ve světě obecné relativity nepoužitelný.

Mnoho takzvaných paradoxů teorie relativity (a jiných fyzikálních teorií) vzniká automatickým použitím abstrakcí, přenesených z klasické fyziky, do nové teorii, se kterou není v souladu. Takovým paradoxem je třeba astronaut, rozmlouvající prostřednictvím komunikátoru s kolegou na druhé straně galaxie. Ve skutečnosti by se každý rozhovor šířil maximálně rychlostí světla, tj. na vzdálenost světelného roku by se přenášela rok. Proto by se astronaut dočkal odpovědi na svou otázku nejdříve za dva roky. Takový rozhovor by asi nikoho nenadchnul.

Konečně, dnes už vyvolává problémy přenos telefonních rozhovorů přes satelity, které vnáší zpoždění okolo poloviny vteřiny; takový rozhovor už vyžaduje od hovořících určitou kázeň, proto je snaha přenášet alespoň jednu větev hovoru po pozemních kabelech. A při komunikaci počítačů, která je o mnoho řádů rychlejší, může dojít ke kolizi (současnému vysílání) již na sektorech o délce desítek metrů. Nemluvě o vlastní konstrukci počítačů - jednou z příčin zmenšování rozměrů procesorů je zpoždění, způsobené přenosem impulsů na druhý konec počítače či třeba i procesoru.

Samozřejmě - v elektronice se ona konečnost rychlosti přenosu neprojevuje jen jako zpoždění, ale třeba formou zkreslení signálu. Přesto i tam relativistický princip konečné rychlosti přenosu informace platí a působí problémy. Přesto většina obvodů je navržena na základě faradayovské teorie obvodu a případné problémy se zpožďováním přenosu informace jsou řešeny při dodatečné analýze navrženého obvodu.

6. Maxwellova elektrodynamika versus klasické myšlení

James Clerk Maxwell zformuloval svou elektrodynamiku jako matematický model, založený na řadě pozorování, ale též se značnou mírou abstrakce. Teorie popisovala elektromagnetické vlnění; když fyzikové spočítali na základě rovnic rychlost šíření takového záření ve vakuu, dostali stejnou rychlost, s jakou se (v rámci chyb měření) pohybuje ve vakuu světlo. Z toho usoudili, že světlo je formou elektromagnetického záření.

Newtonova teorie popisuje gravitaci pomocí časově stálého potenciálu, závislému pouze na vzdálenosti a hmotnostech obou těles, nebo alternativně jako sílu, působící okamžitě a na dálku mezi dvěma tělesy. Podobně vypadal Coulombův zákon popisující sílu působící mezi elektrickými náboji a podobně tomu bylo při Faradayově popisu elektrického proudu - elektrická indukce a s ní spojené síly působí okamžitě na dálku, podobně je tomu s magnetickým polem.

Zcela jinak popisuje situaci Maxwelova elektrodynamika. Zde samotné elektrické pole je nositelem energie, jejíž prostorová hustota je úměrná součtu čtverců intenzity elektrického pole E a intenzity magnetického pole H

Energie ≈ E2 + H2 .

Každá nabitá částice je obklopena elektrickým polem, které má určitou energii; když k sobě přibližujeme dvě souhlasně nabité částice, je výsledné elektrické pole součtem pole jednotlivých částic a jeho intenzita vzroste. A protože kvadrát E2 intenzity pole roste rychleji než samotná intenzita, bude výsledná energie systému větší, proto na přiblížení obou částic potřebujeme vynakládat sílu a částice se odpuzují. Naopak v případě nesouhlasně nabitých částic se intenzity pole odčítají, celková energie pole klesne a proto se se částice přitahují. Když sečteme změny energie za celý prostor, dostaneme právě Coulumbův zákon. Podstatné je, že při změnách pole (např. v důsledku pohybu nábojů) probíhají změny v elektrickém poli se zpožděním; podobně jako je u mechanických systémů pro rychlost přenosu deformace charakteristická rychlost zvuku v příslušném materiálu, je pro rychlost změn elektromagnetického pole charakteristická rychlost šíření elektromagnetických vln ve vakuu, tedy rychlost světla.

Přenos energie tedy v Maxwelovské elektrodynamice zprostředkuje elektromagnetické pole mající vlastní energii. Hustota rychlosti přenosu energie polem je charakterizována tzv. Poyntigovým vektorem P , který je úměrný vektorovému součinu intenzity elektrického a magnetického pole E x H . V souhlasu s tímto pojetím není např. energie přenášena elektrickým vodičem, kterým teče proud, ale elektromagnetickým polem v jeho okolí: elektrické pole nabitého vodiče míří radiálně pryč od něho; siločáry magnetického pole, kterým prochází proud, vytvářejí soustředné kružnice. Výsledný Poyntigův vektor toku energie je kolmý na obě pole, míří tedy ve směru vodiče. Pokud má např.vodič elektrický odpor, vznikne na něm spád napětí, elektrické pole pak není zcela kolmé k vodiči a proto část energie proudí do něj - a působí třeba jeho ohřev.

Takový pohled na elektřinu a magnetismus je zcela nezvyklý a nepraktický. Naštěstí teorie elektromagnetického pole dává možnost přejít od něj vhodnou matematickou transformací k původnímu faradayovskému pohledu na svět - ovšem jen za předpokladu, že všechny jevy probíhají výrazně pomaleji než odpovídá rychlosti světla. Tomu odpovídá např. klasická teorie elektrického obvodu, která nám umožňuje konstruktivně navrhovat elektrické i elektronické obvody, podobně jako můžeme použít intuici pro návrh klasických mechanismů. Pokud se vyskytnou výjimky - např. přenos energie elektrickým polem přes izolátor v kondenzátoru či magnetickým polem v indukčnostech a transformátorech, bereme tento výjimečný případ jako „součástku“, ve které je tento atypický jev uzavřen. Pokud se ovšem charakteristická rychlost v obvodu začne přibližovat rychlosti světla, už s takto zjednodušeným modelem nevystačíme a musíme přinejmenším počítat se zpožděním rychlosti přenosu či zkreslením tvaru signálu. Příkladem je návrh procesorů současných počítačů, ale třeba i rychlé datové sítě.

Žádná faradayovská představa ovšem nedokáže popsat takové jevy, jakými je přenos energie elektromagnetickým polem na dálku, elektromagnetické záření.

Další překvapivou skutečností je to, že Maxwelova elektrodynamika neodpovídá klasickému principu relativity newtonovské fyziky - podle ní je např. rychlost světla ve vakuu je konstantní nezávisle na prostředí a pohybu zdroje. Ověření tohoto principu nakonec vedlo k vytvoření speciální teorie relativity, pro kterou je tato skutečnost výchozím bodem. Ale nejen to - po zformulování této teorie se ukázalo, že Maxwelova elektrodynamika je s tímto pojetím v plném souladu, snad kromě toho, že k formulaci svých rovnic používala klasické třírozměrné vektory klasické fyziky - bez problému je možno jí přepsat do formy, která je čistě relativistická. A protože forma není důležitá, je možno prohlásit, že relativistická elektrodynamika vznikla vlastně ještě před zformulováním relativistické teorie.

7. Geometrie relativistického prostoru

Albert Einstein formuloval svou teorii gravitace jako součást Obecné teorie relativity s využitím Riemannovy geometrie, ovšem ve čtyřrozměrném časoprostoru (to slovo vyjadřuje, že čtvrtou dimenzí je čas) s indefinitní metrikou. V klasickém metrickém prostoru newtonovské fyziky je prostor a čas přísně oddělen. Pokud přecházíme do nového souřadného systému, který se vůči původnímu pohybuje stálou rychlostí, je samozřejmě nutno při přepočtu souřadnic započítat posun počátků, takže ve formulce pro přepočet souřadnic vystupuje čas, ale vlastní čas je u obou systémů stejný, maximálně se liší o konstantní hodnotu. Vzdálenost dvou bodů v prostoru či časový interval mezi dvěma událostmi je v obou systémech stejný.

Základním požadavkem speciální relativity je konstantní rychlost světla nezávislá na rychlosti zdroje. Abychom toho dosáhli, musíme se vzdát absolutního času: při přepočtu souřadnic mezi dvěma souřadnými systémy ve vzájemném pohybu nejen že nové prostorové souřadnice závisí na čase (což odpovídá posunu obou počátků), ale i čas v novém systému závisí na prostorových souřadnicích. Dochází tedy ke vzájemnému míchání jak prostorových tak časových údajů, proto nelze oddělovat prostorové a časové údaje, ale hovoříme o čtyřrozměrném časoprostoru.

To ovšem neznamená, že časový údaj začne hrát stejnou roli jako prostorové souřadnice. Zatímco v klasické fyzice pro dvě události (každá z nich nastala v určitém místě a v určitém čase, předpokládejme, že t1 < t2) existují dvě veličiny (tzv. invarianty) nezávislé na souřadném systému: vzdálenost obou událostí l a časový rozdíl t, existuje ve speciální relativitě jen jeden invariant

I = l2 - c2.t2 = (x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2 - c2.(t2-t1)2.

Pokud je tento výraz nulový, znamená to, že pokud při té první dojde k vyzáření světla, dostihne to druhé místo právě když nastane událost druhá; potom může být první událost příčinou té druhé. Je to možné i v případě, kdy druhá událost nastala po tom, kdy by tam přineslo informaci světlo z prvé události, tj. pokud náš invariant je záporný - můžeme říci, že druhá událost nastala absolutně po události prvé. Naopak, pokud je invariant I kladný, nemůže být prvá událost příčinou té druhé, protože informace o ní by se musela přenést nadsvětelnou rychlostí, a to teorie relativity zakazuje. Dokonce je možno najít jinou soustavu souřadnic, ve které události proběhnou v opačném pořadí, tj. kde t1' > t2'. Řekneme, že obě události nastaly absolutně současně. Pro transformaci souřadnic, která zachovává popsaný invariant, užíváme pojem Lorenzova transformace.

Pro každou událost (bod v časoprostoru) existuje množina událostí, pro kterou je invariant I nulový, jedná se o jakýsi čtyřrozměrný analog kužele v časoprostoru, kam z něj může dojít světlo; říká se mu světelný kužel. Všechny události, které leží uvnitř světelného kužele (tj. pro které je invariant I záporný) nastaly absolutně před naší událostí (pokud je jejich časová souřadnice menší) nebo absolutně po naší události (pokud je jejich časová souřadnice větší). Události vně časového kužele (kde je I kladné) představují absolutní současnost naší události.

 Všimněte si, že zatímco prostorové souřadnice vystupují v našem invariantu s kladným znaménkem, u času je znaménko záporné; to vyjadřuje zvláštní postavení časové dimenze. Naopak rychlost světla, která stojí před časovým členem, je možno eliminovat volbou jednotek; teoretičtí fyzici tak často činí. A když necháme tuto rychlost růst limitně nade všechny meze, přechází teorie do klasické formy, kde čas je zcela nezávislý na prostorových souřadnicích.

V klasickém prostoru odpovídá transformace souřadnic otočením a posunům v prostoru. Podobně je možno chápat Lorenzovy transformace jako jakési posuny a rotace v časoprostoru. Zatímco při klasických rotacích může dojít k vzájemné záměně prostorových os; nemůže vzhledem k zvláštnímu postavení časové souřadnice v invariantu nikdy dojít z vzájemné výměně prostorové a časové souřadnice.

Při ryze prostorové transformaci dochází ke vzájemnému pootočení souřadných os (představujte si nejlépe vždy dvourozměrný model, třetí souřadnice se nemění). Transformace souřadnic do pohybujícího se systému do jisté míry odpovídá pootočení prostorových os. Zatímco v klasické fyzice se pootočí jen prostorová osa, zatímco ta časová zůstává na místě; v relativistickém prostoru dochází k současnému pootočení jak prostorové tak časové osy, i když vzhledem k jiné formě invariantu je geometrie této rotace jiná. Světelný kužel si můžeme přestavit v původním systému jako přímku s rovnicí x = c.t ; taková „rotace“ nikdy nepřekročí tuto přímku.

8. Schwarzschieldovo řešení a otázky nekonečna

Albert Einstein formuloval svou teorii gravitace jako součást Obecné teorie relativity s využitím Riemannovy geometrie, ovšem ve čtyřrozměrném časoprostoru (to slovo vyjadřuje, že čtvrtou dimenzí je čas) s indefinitní metrikou. I tato teorie respektuje náš invariant I, který je vyjádřen formulkou

dI = ∑ij gij dxi.dxj ,

kde gij označuje složky metrického tenzoru a indexy ij probíhají tři prostorové a jednu časovou souřadnici. Indexy u diferenciálů souřadnic píšeme nahoru, protože se jedná o tzv. kovariantní složky, což je specifika Riemanovy geometrie, kterou zde nebudeme rozebírat, jen s upozorněním, že se nejedná o mocniny. Metrický tenzor, který popisuje metriku prostoru, určuje též gravitační pole; to tedy nepůsobí na předměty silou, ale tím, že definuje geometrii prostoru. V nepřítomnosti gravitačního pole má metrický tenzor nenulové hodnoty pouze na diagonále (kde i=j), a to u prostorových složek jedničky, u časové složky - c2; v takovém případě se jedná o původní plochý prostor speciální teorie relativity.

 Sluší se poznamenat, že zatímco speciální teorie relativity preferuje systém inerciálních souřadných systémů, kde mají rovnice jednodušší formu, obecná teorie relativity žádnou speciální třídu souřadných systémů nepreferuje - proto např. ona komplikace s kovariantními a kontravariantními vektory. Obecná teorie relativity používá obecnou formulaci, která připouští jakoukoliv transformaci souřadnic, kterou lze popsat pomocí spojitých a vzájemně jednoznačných funkčních vztahů, nejen lineárních transformací, jako tomu bylo ve speciální relativitě. Za tuto cenu dovoluje popsat mnohem širší třídu prostorů, než dovoloval mechanismus relativity speciální. A všimněte si též, že zatímco speciální relativita dovolovala pracovat přímo s rozdíly souřadnic, obecná relativita definuje všechny vztahy pomocí diferenciálů - tedy aparátem diferenciální geometrie.

 Chceme-li odvodit Coulumbův zákon z Maxwellových rovnic, musíme hledat, jak se chová takové pole vně nabité částice, tedy ve vakuu, a pokud částice nemá vnitřní strukturu preferující některý směr, musíme hledat sféricky symetrické řešení; zavedeme tedy stejně jak v odstavci 3 sférické souřadnice (ovšem poloměr r je nyní jednou ze souřadnic, ne konstantní charakteristika objektu) a hledáme řešení, které závisí jen na tomto poloměru. Podobně chceme hledat řešení Einsteinových gravitačních rovnic, které je izotropní a stacionární. 

V obecné teorii relativity není gravitační pole popsané potenciálem, ale je součástí geometrie prostoru popsané metrickým tenzorem. Einsteinova rovnice gravitačního pole vypadá na první pohled jako jednoduchá tenzorová rovnice podobně, jako relativistická forma Maxwellových rovnic; místo potenciálu zde vystupuje výraz odvozený z Riemanova tenzoru křivosti, na pravé straně jako zdroj stojí tenzor energie a hybnosti systému. Problém je v tom, že při podrobném vyjádření vystupuje tentýž tenzor křivosti při manipulaci se složkami tenzorů, výsledkem je proto nelineární parciální diferenciální rovnice.

Když v roce 1915 Einstein tuto rovnici odvodil, nedoufal, že bude brzy známo nějaké její řešení. Proto ho překvapilo, když už v roce 1916 jeho kolega Karl Schwarzschield poslal z ruské fronty článek, který právě takové řešení stacionárního sféricky symetrického pole obsahoval. A ještě více byl překvapen, když za dalšího půl roku doplnil Schwarzschield své řešení o další aspekty a doplnil další. Bohužel zanedlouho nato skončil tento nadějný talent ve válečné vřavě. Inter arma silent musae, a to dokonce i v oblasti exaktních věd.

Pokusme se formulovat, jak by mělo vypadat sféricky symetrické stacionární řešení - konkrétně lorenzovský invariant I. Nejprve přepíšeme výraz pro tento invariant pro plochý prostor speciální relativity ve sférických souřadnicích; připomeňme, že vzhledem k formulaci obecné relativity je tvar jejich rovnic vůči transformacím souřadnic zcela invariantní:

I = - c2 dt2 + dr2 + r22 + r2 sin2θ dφ2 .

Prvé dva členy vyjadřují závislost na čase a poloměru, další dva vyjadřují vnitřní geometrii kulové plochy s konstantním poloměrem; proto stacionární řešení bychom hledali ve tvaru

I = - A(r) c2 dt2 + B(r) dr2 + r22 + r2 sin2θ d φ2 .

Pokud odtud odvodíme tvar metrického tenzoru, odvodíme příslušné charakteristiky a dosadíme do einsteinových rovnic gravitačního pole, najdeme skutečně řešení, pokud položíme:

A(r) = (1 - rs /r), B(r) = (1 - rs /r)-1, kde konstanta rs = 2.G.M/c2 .

Požadovali jsme současně, aby daleko od počátku řešení odpovídalo Newtonovu gravitačnímu zákonu a nakonec přecházelo v plochý prostor. Newtonova gravitační konstanta G a hmotnost centra M byla převzata z Newtonova zákona. Výraz rs nazýváme Schwarzchieldův poloměr; jako ilustraci uveďme, že pro naší zemi má velikost pouhých 9 metrů, pro naše Slunce 3 km, ale přesto dal vznik pojmu černé díry pro větší hvězdy s podstatně vyšší hustotou.

Samozřejmě, toto řešení platí jen ve vakuu, tzn. mimo samotný zdroj gravitačního pole, mimo povrch této hvězdy. Podíváme-li se na řešení, uvidíme, že v blízkosti Schwarzschieldovy koule (zvané též horizont) se začne čas pozorovatele silně zpomalovat, zatímco vzdálenost mezi body s rozdílným poloměrem silně narůstat. Pokud by jeden pozorovatel zůstal na pevném bodě (stálých prostorových souřadnicích) a druhý volně padal a posílal tomu prvému pravidelné světelné signály (pravidelně ve svém čase), podle vnějšího pozorovatele by intervaly mezi signály rostly, jejich frekvence by se posouvala k rudému spektru, ale stále řidší signály by přicházely nekonečně dlouho; podle tohoto pozorovatele by ten druhý na singularitu nikdy nedopadl. Naopak druhý pozorovatel by dosáhl horizontu (podle svého pozorování) v konečném čase; tam by ho asi roztrhaly slapové síly silně nehomogenního gravitačního pole. Vidíme, že pojmy konečna či nekonečna závisí na tom, odkud nějaký jev pozorujeme.

Dále platí, že pokud by se nějaký pozorovatel dostal dovnitř horizontu, jeho světelný kužel do budoucnosti směřuje pouze dovnitř koule, takže nemá možnost se ještě někdy dostat ven nebo tam poslat jakoukoliv informaci; proto takový objekt nazýváme černou dírou. Platí to přinejmenším u sféricky symetrických řešení.

To, že uvedené řešení se uvnitř horizontu chová podivně nedokazuje, že tam nelze řešit rovnice gravitačního pole, ale jen to, že tam neexistuje stacionární řešení. Jak si může pozorný čtenář najít třeba na této stránce, např. zavedením nové časové souřadnice τ substitucí

t = τ + 2.c-1.(r.rs)½ - c-1.rs.ln |[(r/rs)½ - 1] / [(r/rs)½ + 1] | ,

kde ln označuje přirozený logaritmus. Všimněte si, že logaritmus bereme z absolutní hodnoty (označena svislou čarou), která mění znaménka na singularitě. Zavedeme-li symbol 

v = c.(rs / r)½ = (2.G.M/r)½

(pozor, není to konstanta, závisí na souřadnici r), dostaneme následující metriku:

I = - c2 dτ 2 + (dr + v.dτ)2  + r22 + r2 sin2θ d φ2 .

Vidíme, že singularita pro r = rs zmizela, zůstala jen v počátku, zato metrika závisí na čase, řešení tedy není stacionární. Pokud jde o časovou a úhlové souřadnice, dostáváme obvyklou formu platnou pro plochý prostor; druhý člen vypadá jako diferenciál další souřadnice, která padá směrem ke středu souřadnic rychlostí v (přesně by to platilo, kdyby výraz pro rychlost v neobsahoval souřadnici r). Je to tedy lokální metrika pozorovatele, který v systému volně padá rychlostí v. Pro úplnost uveďme, že stejně je definovaná úniková rychlost v newtonovské mechanice, tedy rychlost, kterou by padalo v daném těleso, které mělo v nekonečnu nulovou rychlost (a kinetickou energii); na horizontu by dosáhlo rychlosti světla. Proto takový souřadný systém nazýváme systémem padajícího výtahu.

Pro názornost ještě uveďme konkrétní čísla. Gravitační konstanta je G = 6,6.10-11 m3kg-1s-2 . Pro naší zemi je hmotnost M = 6.1024 kg, poloměr r = 6378.103 m, tedy na zemském povrchu v = 11,1 km/s. V tak rychle padajícím výtahu bych se asi dobře necítil!

Vidíme tedy, že po některých transformacích souřadnic, např. do systému, který volně padá spolu s pozorovatelem, ale existují i další, lze najít řešení, které singularity neobsahuje. Samozřejmě, taková řešení nejsou stacionární, tzn. že geometrie prostoru v bodech s pevnými souřadnicemi se mění v čase. Existence takového řešení dokazuje, že i existence singularit určitých řešení lze ovlivnit vhodnou volbou souřadného systému. A obecná teorie relativity na rozdíl od speciální teorie žádné souřadné systémy nepreferuje.

Hodnota Schwarzschieldova poloměru není kupodivu produktem relativistické teorie. Už v 18. století při snaze o zdokonalení korpuskulární teorie světla zrodil takovýto problém: k opuštění newtonovského gravitačního pole potřebuje objekt dosáhnout tzv. druhé kosmické rychlosti, kdy je jeho kinetická energie rovna hodnotě potenciálu gravitačního pole. Čím je částice blíže středu, tím je rychlost vyšší; vznikla otázka, kdy může gravitační pole opustit částice letící rychlostí světla. Vypočtený poloměr přesně odpovídá Schwarzschildovu horizontu; „částice“ světla, která klesne pod horizont, by ho nikdy nemohla opustit, pokud by se pohybovala rychlostí světla. Klasická fyzika nám zde kupodivu dává podobný obraz, jako obecná teorie relativity.

A ještě jedna poznámka k Schwarzchieldovu řešení: v úvodu jsem popisoval, jak je pro konstrukci mechanických strojů užitečné používat zjednodušený model tuhých těles a přímého působení na dálku, přestože víme, že skutečnost je složitější. Podobně jsem v kapitole o elektromagnetismu uvedl přednosti faradayovského pohledu, který nám pomáhá při návrhu různých praktických zařízení, přestože víme, že je nepřesný. Přesto si dokáži představit jisté pojmy ve formě poyntigovských toků energie a hybnosti. Podobně pro praktický život na zemi je užitečný klasický newtonovský pohled, který připisuje každému předmětu váhu, kterou je přitahován k zemi. Přesto bych si někdy rád představil, jak bych měl korektně popisovat pozemskou realitu ve formě Schwarzschieldova řešení. Samozřejmě nejedná se o nějaké singularity či jiné anomálie - země je příliš malá a má malou hustotu, aby bylo možno některé s těchto jevů pozorovat - jedná se o obyčejný každodenní pohled, kde gravitační sílu nahradím jiným pohledem na geometrii prostoru. A musím se přiznat, že to nedokáži, i když bych se o to někdy rád pokusil. Možná jedna z příčin, která mne inspirovala k napsání tohoto článku.

9. Paradoxy spojené s topologií prostoru

Pokud si otevřete některé běžné noviny, najdete tam řadu hlubokomyslných úvah na jakékoliv téma, kde se jejich autor - většinou naprostý laik - pouští do řešení těch nejsložitějších otázek běžného života, ale i v oblasti přírodních a exaktních věd. Doufám, že alespoň tento můj článek nezapadne zcela do této kategorie. Takových výletů do oblastí, o kterých nic nevědí, se dopouštějí různé typy lidí.

Jedním z nich jsou lovci senzací, a to nejen v revolverových plátcích typu Blesku nebo Práva, ale často i seriózně se tvářících listů. Druhou kategorií jsou různí fundamentalističtí nadšenci, kteří z radostí hovoří o čemkoliv, o čem toho moc nevědí. Často jsou to náboženští nadšenci, jejichž hlavními argumenty jsou citáty z Bible, marx-leninských příruček, pravidel „politické korektnosti“ či jiného dogmatického spisu. Právě dnes jsem si s radostí přečetl agitační letáček jedné z lokálních církví na téma lidské smrtelnosti:

Musíme tam všichni… je smrt konečná stanice?

„Černý most, konečná stanice. Prosíme vystupte“. 

Můžeme z principu vůbec něco vědět o místě, odkud se ještě nikdy nikdo nevrátil?

Následovala samozřejmě pozvánka na nejbližší bohoslužbu. Okamžitě se nabízí dvě připomínky: první odkud tedy o něm něco vědí oni, navíc je spousta míst - třeba planeta Mars, na které ještě nikdo nebyl a přesto o ní sem tam něco víme. Asi stejně logické, jako argument, že takto inteligentní svět musela stvořit nějaká inteligentní bytost. Napřed se vynoří otázka, kdo stvořil tuto bytost, potom se u člověka s mozkem trénovaným vyšší matematikou rozsvítí v hlavě chybové hlášení „Nekonečná rekurse“. A takový pojem jako „stvořitel všech stvořitelů“ volá podobně jako „množina všech množin“ po novém Russelově paradoxu! Ale ponechme otázky náboženství jiným povolanějším!

Třetí kategorií laických pohledů mohou být politici, kteří své politické ambice zaměřují nevhodným směrem - když např. namísto podstaty přírodovědné teorie napadají osobu autora - např. když nacistům vadil Albert Einstein proto, že byl židovského původu. Zatímco v politice se s podobnou formou argumentace setkáváme často, v oblasti přírodovědy je zcela nepřístupná. Na druhé straně - snad nic tak nezpopularizovalo teorii relativity a jejího autora, jako zmíněné útoky nacistů.

Zmiňme ještě jednu kategorii - kavárenské a hospodské kecaly, kteří jsou kdykoliv ochotni kdykoliv „zasvěceně“ pohovořit o čemkoliv, co již někde někdy slyšeli. Hlavně se starají, aby byli „IN“ a zastávali ten názor, který se právě nosí, vlastní názor jim zcela chybí nebo ho alespoň neprojevují. A nedokáží rozlišit, že zatímco některé záležitosti jsou zcela subjektivní, zatímco jakékoliv závěry přírodních a exaktních věd jsou zpravidla podložené experimentem nebo zkušeností. Tak před lety bylo „moderní“ hovořit o tom, že tomu Einsteinovi a Picassovi přece nikdo nerozumí - bez odlišení zcela subjektivního charakteru umění od objektivní vědecké verifikace. Právě takoví kecalové bývají vděčnými čtenáři těch nejprimitivnějších lovců senzací. Asi nikdy nepochopí, že mezi hereckými, módními a fotbalovými celebritami a význačnými přírodovědci je přece jen jistý rozdíl.

Poslední dobou se stalo moderní hovořit o „velkém třesku“ (big bang) - jednom z kosmologických modelů posledních desetiletí - dokonce jedna stárnoucí hudební skupina se snaží zachránit svou mizející popularitu pořádáním „většího třesku“ (The bigger bang). Přiznám se, viděl jsem před lety jeden takový model i ve formě matematických rovnic a příliš mne nenadchl - jednalo se o snůšku nejrůznějších disciplín, počínaje obecnou teorií relativity (bez té by to dnes asi v kosmologii nešlo) přes klasickou termodynamiku až po fyziku elementárních částic. Tedy - nic proti takovým modelům - je to jeden z nástrojů, kterými si fyzici prověřují své teorie - pouze bych v jeho hodnocení nemířil výše než ke slovům „model“, „teorie“ s obavou, že po nějaké té desítce let bude opět „in“ probírat modely zcela jiné. Konečně i Einstein původně věřil svým modelům natolik málo, že si řadu let nedovolil nahradit termín „teorie relativity“ něčím konečnějším, až jí nakonec to označení „teorie“ už zůstalo.

Přesto, když slyším hovořit nějakého „odborníka“ o tom, co bylo třeba pět vteřin po velkém třesku, už to ve mne vzbuzuje nedůvěru. Jak jsme viděli, v obecné relativitě neexistuje žádný absolutní čas a je tam velká libovůle ve volbě souřadného systému. Kromě toho pokud se snažíme měřit časový rozdíl mezi dvěma body, záleží na trajektorii. Proto ve mně onen časový údaj vzbuzuje silné podezření, že jeho autor by vůbec nedokázal upřesnit, co tím myslí, prostě přemýšlí v kategoriích absolutního newtonovského času. Viděli jsme, že vhodnou transformací souřadnic lze např. z nekonečného děje vyrobit konečný apod. Přinejmenším si takový údaj žádá upřesnění. Nebo odstranění singularity vhodnou transformací souřadnic - samozřejmě na základě přesné znalosti tvaru rovnic.

Ještě hloupější námitku jsem už skutečně slyšel od fundamentalistů, ne od fyziků. Prý co bylo před velkým třeskem. Onen velký třesk by měl být okamžik, kdy se celý svět zrodil z jednoho bodu. Tedy ze singularity časoprostoru. V něm začíná vše, tedy i čas. Ovšem jak nás češtináři učili, předložka před označuje časovou posloupnost. Ale ten čas nám končí v té singularitě, žádné před velkým třeskem prostě neexistuje, taková otázka nedává smysl. Ten „paradox“ samozřejmě vzniká obvyklým způsobem - přenosem newtonovského absolutního pojetí času do jiného prostředí.

Ještě malá analogie: před léty si lidé na základě zkušenosti představovali Zemi jako placku, nad ní bylo Nebe, pod ní snad Peklo. A přirozeně se vyskytla otázka: co je za jejím okrajem.

Když se později povrch země lidem topologicky proměnil přibližně na kouli, dalo jim dosti práce, než se s tím smířili. Pamatuji se na kolegyni, která se svému malému synkovi snažila vysvětlit tento model vesmíru - dostala strohou odpověď: „Blbost, vždyť by ta voda vytekla!“ Krásný příklad nesprávného přenosu pojmů „nahoře“ a „dole“ z jednoho modelu do druhého. Nejprve měli kněží problém, kam umístit ono Nebe a Peklo, ale i to se nějak vyřešilo, dnes je „in“ hovořit o jiné dimenzi. Nedokáží pochopit, že počet dimenzí je atributem matematického modelu, ne přírodní reality.

Kdyby se proto dnes někdo tázal, co je za hranicí Země, pokládali bychom ho asi za hlupáka. Ale vždyť onen dotaz „Co bylo před velkým třeskem“ je přece stejně hloupý!

Na závěr ještě krátkou poznámku. Matematický model, kterým fyzikové modelují přírodu, je obvykle, přinejmenším po nějaké době „zrání“, z matematického hlediska zcela korektní matematickou disciplínou, proto snaha laiků najít v ní „paradoxy“ je zpravidla marná. Což ovšem vůbec neznamená, že se podle tohoto modelu chová příroda. Proto může vedle sebe existovat několik matematických modelů, z nichž každý popisuje jen některé aspekty reálné přírody.

Jiří Šoler